10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 3. senaryo test 3

$180$ sayısının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı kaçtır?

A) $12$
B) $15$
C) $18$
D) $20$
E) $24$

Bir sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulmak için izlememiz gereken adımlar şunlardır:

• Adım 1: Sayıyı asal çarpanlarına ayırma (asal çarpanlara ayırma).

• Verilen sayı $180$'dir. $180$ sayısını asal çarpanlarının çarpımı şeklinde yazalım:

  • $180 = 10 \times 18$
  • $10 = 2 \times 5$
  • $18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2$
  • Bu durumda, $180 = (2 \times 5) \times (2 \times 3^2)$
  • Asal çarpanları bir araya getirirsek: $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$

  Burada asal çarpanlar $2$, $3$ ve $5$'tir. Üsleri ise sırasıyla $2$, $2$ ve $1$'dir.

• Adım 2: Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısını bulma formülünü uygulama.

• Bir sayının asal çarpanlarına ayrılmış hali $N = p_1^{a_1} \times p_2^{a_2} \times ... \times p_k^{a_k}$ şeklinde ise, bu sayının pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı, asal çarpanların üslerinin birer fazlasının çarpımına eşittir. Yani formül $(a_1+1)(a_2+1)...(a_k+1)$ şeklindedir.

• Adım 3: $180$ sayısı için formülü uygulama.

• $180 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$ olduğu için, üsler $a_1=2$, $a_2=2$ ve $a_3=1$'dir.

  Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı = $(2+1) \times (2+1) \times (1+1)$

  Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı = $3 \times 3 \times 2$

  Pozitif tam sayı bölenlerinin sayısı = $18$

Buna göre, $180$ sayısının $18$ tane pozitif tam sayı böleni vardır.

Cevap C seçeneğidir.