Bir marangoz, boyutları 120 cm ve 180 cm olan dikdörtgen şeklindeki bir tahtayı, hiç parça artmayacak şekilde eşit büyüklükte kare parçalara ayırmak istiyor. Marangozun elde edeceği en büyük kare parçanın bir kenar uzunluğu kaç cm'dir? Bu işlem sonucunda toplam kaç adet kare parça elde edilir?
A) Kenar: 30 cm, Parça Sayısı: 24Sevgili öğrenciler, bu problemde bir dikdörtgen tahtayı hiç artmayacak şekilde eşit büyüklükte kare parçalara ayırmak istiyoruz. Bu tür problemlerde genellikle En Büyük Ortak Bölen (EBOB) ve En Küçük Ortak Kat (EKOK) kavramları karşımıza çıkar. Burada, parçaların eşit büyüklükte ve en büyük kareler olmasını istediğimiz için EBOB kullanacağız.
Elimizde 120 cm ve 180 cm boyutlarında dikdörtgen bir tahta var. Bu tahtayı, hiç parça artmayacak şekilde, mümkün olan en büyük kare parçalara ayırmak istiyoruz. Bu durumda, kare parçanın bir kenar uzunluğu hem 120 cm'yi hem de 180 cm'yi tam bölmelidir. "En büyük" ifadesi bize En Büyük Ortak Bölen (EBOB) bulmamız gerektiğini gösterir. EBOB'u bulduktan sonra, bu kenar uzunluğuna sahip karelerden kaç tane elde edildiğini hesaplayacağız.
120 ve 180 sayılarının EBOB'unu bulmak için asal çarpanlarına ayırma yöntemini kullanalım:
$120 = 2 \times 60 = 2 \times 2 \times 30 = 2 \times 2 \times 2 \times 15 = 2^3 \times 3^1 \times 5^1$
$180 = 2 \times 90 = 2 \times 2 \times 45 = 2 \times 2 \times 3 \times 15 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$
EBOB'u bulmak için, her iki sayıda da ortak olan asal çarpanların en küçük üslülerini alırız:
Ortak asal çarpanlar: 2, 3, 5
2'nin en küçük üssü: $2^2$ (çünkü $2^3$ ve $2^2$ var)
3'ün en küçük üssü: $3^1$ (çünkü $3^1$ ve $3^2$ var)
5'in en küçük üssü: $5^1$ (çünkü her ikisinde de $5^1$ var)
Bu durumda EBOB değeri:
$EBOB(120, 180) = 2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60$ cm.
Yani, elde edeceğimiz en büyük kare parçanın bir kenar uzunluğu 60 cm olacaktır.
Şimdi, kenar uzunluğu 60 cm olan karelerden bu dikdörtgen tahtaya kaç tane sığacağını bulalım:
120 cm'lik kenar boyunca kaç kare sığar: $120 \text{ cm} / 60 \text{ cm} = 2$ adet
180 cm'lik kenar boyunca kaç kare sığar: $180 \text{ cm} / 60 \text{ cm} = 3$ adet
Toplam kare parça sayısı, bu iki sayının çarpımı olacaktır:
Toplam parça sayısı $= 2 \times 3 = 6$ adet.
Elde ettiğimiz sonuçlar: En büyük kare parçanın bir kenar uzunluğu 60 cm ve toplam 6 adet kare parça elde edilir. Bu sonuçlar seçeneklere baktığımızda C seçeneği ile eşleşmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
