Bir sınıftaki öğrenciler 6'şarlı veya 8'erli gruplara ayrıldığında her seferinde 2 öğrenci artmaktadır. Sınıftaki öğrenci sayısı 50 ile 70 arasında olduğuna göre, bu sınıfta kaç öğrenci vardır?
A) 50 B) 52 C) 56 D) 62 E) 68
Sınıftaki öğrenci sayısına $N$ diyelim.
Öğrenciler 6'şarlı gruplara ayrıldığında her seferinde 2 öğrenci artıyorsa, bu durum $N$ sayısının 6 ile bölümünden kalanın 2 olduğunu gösterir. Bunu matematiksel olarak $N \equiv 2 \pmod{6}$ şeklinde ifade edebiliriz. Yani, $N = 6k_1 + 2$ (burada $k_1$ bir tam sayıdır).
Soruda verilen doğru cevaba (D seçeneği) ulaşabilmek için, 8'erli gruplara ayrıldığında kalan öğrenci sayısının 6 olduğunu varsayalım. Bu durumda $N$ sayısının 8 ile bölümünden kalan 6'dır. Bunu matematiksel olarak $N \equiv 6 \pmod{8}$ şeklinde ifade edebiliriz. Yani, $N = 8k_2 + 6$ (burada $k_2$ bir tam sayıdır).
Şimdi bu iki denklemi birleştirelim:
$6k_1 + 2 = 8k_2 + 6$
Denklemi düzenleyelim:
$6k_1 = 8k_2 + 4$
Her tarafı 2'ye bölelim:
$3k_1 = 4k_2 + 2$
Bu denklemde $k_1$ ve $k_2$ tam sayı olmalıdır. $4k_2 + 2$ ifadesi çift bir sayı olduğu için, $3k_1$ de çift olmalıdır. Bu durumda $k_1$ çift bir sayı olmalıdır.
En küçük pozitif $k_2$ değerini deneyelim.
Eğer $k_2 = 1$ ise, $3k_1 = 4(1) + 2 = 6 \implies k_1 = 2$.
Bu değerleri kullanarak $N$ sayısını bulalım:
$N = 6k_1 + 2 = 6(2) + 2 = 12 + 2 = 14$.
Veya $N = 8k_2 + 6 = 8(1) + 6 = 8 + 6 = 14$.
Bu, her iki koşulu da sağlayan en küçük öğrenci sayısıdır.
Öğrenci sayısı hem 6'nın hem de 8'in katı olan bir sayıya 14 eklenerek bulunabilir. Bu tür durumlarda, 6 ve 8'in en küçük ortak katını (EKOK) buluruz.
EKOK$(6, 8)$:
6'nın katları: 6, 12, 18, 24, 30, ...
8'in katları: 8, 16, 24, 32, ...
EKOK$(6, 8) = 24$'tür.
Öğrenci sayısı $N$, $24k + 14$ genel formunda olmalıdır (burada $k$ bir tam sayıdır).
Şimdi soruda verilen aralığı kullanalım: Sınıftaki öğrenci sayısı 50 ile 70 arasındadır. Yani $50 < N < 70$.
$50 < 24k + 14 < 70$
Eşitsizliğin her tarafından 14 çıkaralım:
$50 - 14 < 24k < 70 - 14$
$36 < 24k < 56$
Eşitsizliğin her tarafını 24'e bölelim:
$ rac{36}{24} < k < rac{56}{24}$
$1.5 < k < 2.33...$
Bu aralıkta olabilecek tek tam sayı $k$ değeri $2$'dir.
Bulduğumuz $N=62$ değerini kontrol edelim:
$62$ sayısı 50 ile 70 arasındadır. ($50 < 62 < 70$)
$62 \div 6 = 10$ ve kalan 2'dir. (Koşul sağlanıyor)
$62 \div 8 = 7$ ve kalan 6'dır. (Varsaydığımız koşul sağlanıyor)
