10. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 5. senaryo test 1

$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ olmak üzere, $ f(x) = x^2 - 4x + 7 $ fonksiyonunun görüntü kümesi aşağıdakilerden hangisidir?

A) $ [3, \infty) $
B) $ [7, \infty) $
C) $ (-\infty, 3] $
D) $ (-\infty, 7] $
E) $ \mathbb{R} $

Bir fonksiyonun görüntü kümesi, fonksiyonun alabileceği tüm $y$ değerlerinin kümesidir. Verilen fonksiyon bir parabol denklemi olduğu için, parabolün yönüne ve tepe noktasına bakarak görüntü kümesini bulabiliriz.

• Fonksiyonu Tanımlama:

  Verilen fonksiyon $ f(x) = x^2 - 4x + 7 $ şeklindedir. Bu, genel formu $ ax^2 + bx + c $ olan bir ikinci dereceden (kuadratik) fonksiyondur.

  Burada $ a = 1 $, $ b = -4 $ ve $ c = 7 $ değerlerine sahibiz.

• Parabolün Yönünü Belirleme:

  İkinci dereceden bir fonksiyonda, $x^2$ teriminin katsayısı ($a$) parabolün yönünü belirler.

  Eğer $ a > 0 $ ise, parabol yukarı doğru açılır ve bir minimum değere sahiptir.

  Eğer $ a < 0 $ ise, parabol aşağı doğru açılır ve bir maksimum değere sahiptir.

  Bizim fonksiyonumuzda $ a = 1 $ olduğu için ($ 1 > 0 $), parabol yukarı doğru açılır. Bu da fonksiyonun bir minimum değere sahip olacağı anlamına gelir. Görüntü kümesi bu minimum değerden başlayıp sonsuza gidecektir.

• Tepe Noktasını Bulma:

  Parabolün minimum veya maksimum değerini aldığı nokta, tepe noktasıdır. Tepe noktasının $x$ koordinatı $ x_v = -\frac{b}{2a} $ formülüyle bulunur.

  Değerleri yerine koyalım:

  $ x_v = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2 $

  Şimdi bu $x_v$ değerini fonksiyonda yerine koyarak tepe noktasının $y$ koordinatını (yani fonksiyonun minimum değerini) bulalım:

  $ y_v = f(x_v) = f(2) = (2)^2 - 4(2) + 7 $

  $ y_v = 4 - 8 + 7 $

  $ y_v = 3 $

  Yani, parabolün tepe noktası $ (2, 3) $'tür ve fonksiyonun alabileceği en küçük değer $ 3 $'tür.

• Görüntü Kümesini Belirleme:

  Parabol yukarı doğru açıldığı ve en küçük değeri $ 3 $ olduğu için, fonksiyonun alabileceği tüm $y$ değerleri $ 3 $ ve $ 3 $'ten büyük sayılardır.

  Bu durumda görüntü kümesi $ [3, \infty) $ olur.

• Alternatif Yöntem: Tam Kareye Tamamlama

  Fonksiyonu tam kareye tamamlayarak da minimum değeri bulabiliriz:

  $ f(x) = x^2 - 4x + 7 $

  $ f(x) = (x^2 - 4x + 4) + 7 - 4 $ (İlk üç terimi tam kare yapmak için $4$ ekleyip çıkardık)

  $ f(x) = (x - 2)^2 + 3 $

  Bir sayının karesi daima sıfırdan büyük veya eşittir, yani $ (x - 2)^2 \ge 0 $.

  Bu durumda, $ (x - 2)^2 + 3 \ge 0 + 3 $

  $ f(x) \ge 3 $

  Bu ifade, fonksiyonun alabileceği en küçük değerin $ 3 $ olduğunu ve $ 3 $'ten büyük tüm değerleri alabileceğini gösterir. Dolayısıyla görüntü kümesi $ [3, \infty) $'dir.

Cevap A seçeneğidir.