12. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 7. senaryo meb Test 1

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisini bulmak için kullanılacak türev testinde ikinci türevin pozitif olduğu bir noktadır?

A) x = 0
B) x = 1
C) x = 2
D) x = -1
E) x = 3

Bu soruyu çözmek için aşağıdaki adımları izleyeceğiz:

• Adım 1: Fonksiyonun birinci türevini alalım. $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ fonksiyonunun türevi: $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$
• Adım 2: Fonksiyonun ikinci türevini alalım. $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$ fonksiyonunun türevi: $f''(x) = 6x - 6$
• Adım 3: İkinci türevin pozitif olduğu noktaları bulmak için $f''(x) > 0$ eşitsizliğini çözelim: $6x - 6 > 0$ $6x > 6$ $x > 1$
• Adım 4: Şimdi seçeneklerde verilen değerlerden hangisinin $x > 1$ koşulunu sağladığını kontrol edelim:
  • A) $x = 0$, $0 > 1$ (Sağlamaz)
  • B) $x = 1$, $1 > 1$ (Sağlamaz)
  • C) $x = 2$, $2 > 1$ (Sağlar)
  • D) $x = -1$, $-1 > 1$ (Sağlamaz)
  • E) $x = 3$, $3 > 1$ (Sağlar)
• Adım 5: $x=2$ ve $x=3$ değerleri $x>1$ koşulunu sağlıyor. Ancak soruda yerel minimum noktasının apsisini bulmak için kullanılacak türev testinde ikinci türevin pozitif olduğu bir nokta soruluyor. Bu nedenle, verilen seçenekler arasında ikinci türevin pozitif olduğu ve yerel minimumu sağlayan noktayı bulmamız gerekiyor. İkinci türev testine göre, $f'(x) = 0$ olduğunda ve $f''(x) > 0$ ise, o noktada yerel minimum vardır.
• Adım 6: $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0$ denklemini çözerek kritik noktaları bulalım. Bu denklemi çözmek için ikinci dereceden denklem formülünü kullanabiliriz: $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(3)(2)}}{2(3)} = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 24}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{12}}{6} = \frac{6 \pm 2\sqrt{3}}{6} = 1 \pm \frac{\sqrt{3}}{3}$ Kritik noktalar $x_1 = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3}$ ve $x_2 = 1 + \frac{\sqrt{3}}{3}$'tür.
• Adım 7: $x=2$ ve $x=3$ noktalarında $f''(x)$ değerini kontrol edelim.
  • $f''(2) = 6(2) - 6 = 12 - 6 = 6 > 0$. Bu, $x=2$ noktasında yerel minimum olabileceğini gösterir.
  • $f''(3) = 6(3) - 6 = 18 - 6 = 12 > 0$. Bu, $x=3$ noktasında yerel minimum olabileceğini gösterir.
• Adım 8: Ancak, soruda doğrudan kritik nokta sorulmuyor. Sadece ikinci türevin pozitif olduğu bir nokta soruluyor. $x=2$ değeri $x>1$ koşulunu sağladığı için ve ikinci türevi pozitif yaptığı için doğru cevaptır.

Cevap C seçeneğidir.