Bir fonksiyonun tek fonksiyon olup olmadığını anlamak için, $f(-x)$ ifadesini hesaplamamız ve bu ifadenin $-f(x)$'e eşit olup olmadığını kontrol etmemiz gerekir. Yani, bir fonksiyonun tek fonksiyon olması için $f(-x) = -f(x)$ koşulunu sağlaması gerekir.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $f(x) = x^2 + 1$
- Önce $f(-x)$'i hesaplayalım: $f(-x) = (-x)^2 + 1 = x^2 + 1$.
- Gördüğümüz gibi $f(-x) = f(x)$'tir. Bu, fonksiyonun çift fonksiyon olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, bu fonksiyon tek değildir.
- B) $f(x) = \cos(x)$
- Önce $f(-x)$'i hesaplayalım: $f(-x) = \cos(-x)$.
- Kosinüs fonksiyonunun bir özelliği olarak $\cos(-x) = \cos(x)$'tir.
- Yani $f(-x) = f(x)$'tir. Bu da fonksiyonun çift fonksiyon olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, bu fonksiyon tek değildir.
- C) $f(x) = x^3$
- Önce $f(-x)$'i hesaplayalım: $f(-x) = (-x)^3 = -x^3$.
- Şimdi $-f(x)$'i hesaplayalım: $-f(x) = -(x^3) = -x^3$.
- Gördüğümüz gibi $f(-x) = -x^3$ ve $-f(x) = -x^3$'tür. Yani $f(-x) = -f(x)$ koşulu sağlanır.
- Bu nedenle, $f(x) = x^3$ bir tek fonksiyondur.
- D) $f(x) = |x|$
- Önce $f(-x)$'i hesaplayalım: $f(-x) = |-x|$.
- Mutlak değerin bir özelliği olarak $|-x| = |x|$'tir.
- Yani $f(-x) = f(x)$'tir. Bu da fonksiyonun çift fonksiyon olduğu anlamına gelir. Dolayısıyla, bu fonksiyon tek değildir.
- E) $f(x) = e^x$
- Önce $f(-x)$'i hesaplayalım: $f(-x) = e^{-x}$.
- Şimdi $-f(x)$'i hesaplayalım: $-f(x) = -e^x$.
- $e^{-x}$ ifadesi $-e^x$ ifadesine eşit değildir. Ayrıca $e^{-x}$ ifadesi $e^x$ ifadesine de eşit değildir.
- Bu nedenle, $f(x) = e^x$ ne tek ne de çift bir fonksiyondur.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece $f(x) = x^3$ fonksiyonunun tek fonksiyon koşulunu ($f(-x) = -f(x)$) sağladığını görmekteyiz.
Cevap C seçeneğidir.
