$\cot(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $\mathbb{R}$Bir fonksiyonun tanım kümesi, o fonksiyonun tanımlı olduğu tüm girdi (bağımsız değişken) değerlerinin kümesidir. $\cot(x)$ fonksiyonunun tanım kümesini bulmak için, bu fonksiyonun nasıl tanımlandığını ve hangi durumlarda tanımsız olabileceğini incelememiz gerekir.
Öncelikle, $\cot(x)$ fonksiyonunu sinüs ve kosinüs fonksiyonları cinsinden ifade edelim. $\cot(x)$ fonksiyonu, $\cos(x)$'in $\sin(x)$'e oranı olarak tanımlanır:
$\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)}$
Bir kesirli ifadenin tanımlı olabilmesi için paydasının sıfırdan farklı olması gerekir. Bu durumda, $\cot(x)$ fonksiyonunun tanımlı olması için paydada bulunan $\sin(x)$ fonksiyonunun sıfır olmaması gerekir.
Yani, $\sin(x) \neq 0$ olmalıdır.
Şimdi $\sin(x) = 0$ denklemini sağlayan $x$ değerlerini bulalım. Sinüs fonksiyonu, birim çemberde $y$-koordinatını temsil eder ve $y$-koordinatının sıfır olduğu açılar $0, \pi, 2\pi, 3\pi, \dots$ ve $-\pi, -2\pi, -3\pi, \dots$ gibi açılardır.
Bu açıları genel bir ifadeyle yazacak olursak, $\sin(x) = 0$ denklemini sağlayan $x$ değerleri, $k$ bir tam sayı olmak üzere ($k \in \mathbb{Z}$):
$x = k\pi$ şeklindedir.
Bu durumda, $\cot(x)$ fonksiyonu, $x = k\pi$ (burada $k$ bir tam sayıdır) değerleri dışında tüm reel sayılar için tanımlıdır. Dolayısıyla, $\cot(x)$ fonksiyonunun tanım kümesi, tüm reel sayılar kümesinden bu $k\pi$ değerlerinin çıkarılmasıyla elde edilir.
Tanım Kümesi: $\mathbb{R} - \{k\pi : k \in \mathbb{Z}\}$
Seçenekleri incelediğimizde, bu ifade B seçeneğinde yer almaktadır.
Cevap B seçeneğidir.
