Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen sayılar arasından hangisinin irrasyonel olduğunu bulmamız isteniyor. İrrasyonel sayıları anlamak için öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayıların tanımlarını hatırlayalım:
- Rasyonel Sayılar: $\frac{a}{b}$ şeklinde (burada $b \neq 0$ olmak üzere $a$ ve $b$ tam sayıdır) yazılabilen sayılardır. Ondalık gösterimleri ya sonludur ya da tekrar eden bir örüntüye sahiptir. Örneğin, $0.5 = \frac{1}{2}$, $0.333... = \frac{1}{3}$, $7 = \frac{7}{1}$ gibi.
- İrrasyonel Sayılar: $\frac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri sonsuzdur ve tekrar etmeyen bir örüntüye sahiptir. Yani, ondalık kısmı ne sonlanır ne de düzenli bir şekilde tekrar eder. En bilinen örnekleri $\pi$ (pi sayısı), $e$ (Euler sayısı) ve tam kare olmayan sayıların karekökleridir (örneğin $\sqrt{2}$, $\sqrt{3}$, $\sqrt{5}$).
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $\sqrt{16}$: $16$ sayısı $4$'ün karesidir ($4 \times 4 = 16$). Dolayısıyla $\sqrt{16} = 4$'tür. $4$ bir tam sayıdır ve $\frac{4}{1}$ şeklinde yazılabilir. Bu nedenle $4$ bir rasyonel sayıdır.
- B) $\sqrt{25}$: $25$ sayısı $5$'in karesidir ($5 \times 5 = 25$). Dolayısıyla $\sqrt{25} = 5$'tir. $5$ bir tam sayıdır ve $\frac{5}{1}$ şeklinde yazılabilir. Bu nedenle $5$ bir rasyonel sayıdır.
- C) $\sqrt{3}$: $3$ sayısı bir tam kare değildir. Yani, kendisiyle çarpıldığında $3$ sonucunu veren bir tam sayı yoktur. $\sqrt{3}$'ün değeri yaklaşık olarak $1.73205...$ şeklinde devam eden, ondalık kısmı ne sonlanan ne de tekrar eden bir sayıdır. Bu nedenle $\sqrt{3}$ bir irrasyonel sayıdır.
- D) $\sqrt{49}$: $49$ sayısı $7$'nin karesidir ($7 \times 7 = 49$). Dolayısıyla $\sqrt{49} = 7$'dir. $7$ bir tam sayıdır ve $\frac{7}{1}$ şeklinde yazılabilir. Bu nedenle $7$ bir rasyonel sayıdır.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, $\sqrt{3}$ sayısının tam kare olmayan bir sayının karekökü olduğu ve bu nedenle irrasyonel olduğu açıkça görülmektedir.
Cevap C seçeneğidir.
