$A = \{x : -3 < x \leq 5, x \in \mathbb{Z}\}$ kümesinin eleman sayısı kaçtır?
A) 6Bu soruda, belirli koşulları sağlayan tam sayılardan oluşan bir kümenin eleman sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyelim:
Verilen küme $A = \{x : -3 < x \leq 5, x \in \mathbb{Z}\}$ şeklindedir. Bu ifadeyi parçalara ayıralım:
$x \in \mathbb{Z}$: Bu, $x$'in bir tam sayı olması gerektiği anlamına gelir. Tam sayılar, pozitif ve negatif doğal sayılar ile sıfırı içeren sayılardır (örneğin, $\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots$).
$-3 < x$: Bu, $x$'in $-3$'ten büyük olması gerektiği anlamına gelir. Yani $x$, $-3$ olamaz ama $-2, -1, 0, \dots$ gibi sayılar olabilir.
$x \leq 5$: Bu, $x$'in $5$'e eşit veya $5$'ten küçük olması gerektiği anlamına gelir. Yani $x$, $5, 4, 3, \dots$ gibi sayılar olabilir.
Tüm bu koşulları birleştirdiğimizde, $x$ tam sayısı $-3$'ten büyük ve $5$'e eşit veya $5$'ten küçük olmalıdır.
Şimdi bu aralıktaki tam sayıları listeleyelim:
$-3$'ten büyük ilk tam sayı $-2$'dir.
$5$'e eşit veya $5$'ten küçük son tam sayı $5$'tir.
Bu durumda, kümenin elemanları şunlardır: $-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$.
Listelediğimiz elemanları sayalım:
$-2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5$ olmak üzere toplamda $8$ eleman bulunmaktadır.
Bir aralıktaki tam sayıların sayısını bulmak için genel bir formül kullanabiliriz. Eğer aralık $[a, b]$ (yani $a \leq x \leq b$) ise, eleman sayısı $b - a + 1$'dir.
Bizim durumumuzda, aralık $(-3, 5]$ olduğu için, en küçük tam sayı $a = -2$ ve en büyük tam sayı $b = 5$'tir.
Eleman sayısı $= (\text{En Büyük Tam Sayı}) - (\text{En Küçük Tam Sayı}) + 1$
Eleman sayısı $= 5 - (-2) + 1$
Eleman sayısı $= 5 + 2 + 1$
Eleman sayısı $= 8$
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık: kümenin $8$ elemanı vardır.
Cevap D seçeneğidir.
