Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Her tam sayı bir doğal sayıdır.
B) Her rasyonel sayı bir tam sayıdır.
C) Her irrasyonel sayı bir reel sayıdır.
D) Her reel sayı bir rasyonel sayıdır.
E) Her doğal sayı bir irrasyonel sayıdır.
Sevgili öğrenciler, bu soruda sayı kümeleri arasındaki ilişkileri doğru bir şekilde anlamamız gerekiyor. Gelin her bir seçeneği dikkatlice inceleyelim ve hangi ifadenin doğru olduğunu bulalım.
- Sayı Kümelerini Hatırlayalım:
- Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): Sayma sayıları ve sıfırdan oluşan küme. $\mathbb{N} = \{0, 1, 2, 3, ...\}$
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Doğal sayılar ve negatif tam sayılardan oluşan küme. $\mathbb{Z} = \{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılar kümesi. Burada $a$ bir tam sayı, $b$ sıfırdan farklı bir tam sayıdır. Örnek: $ rac{1}{2}$, $-3$, $0.75$. Her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır (örneğin, $5 = rac{5}{1}$).
- İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$): Rasyonel olmayan sayılar kümesi. Ondalık açılımları devirli olmayan ve sonsuza kadar giden sayılardır. Örnek: $\sqrt{2}$, $\pi$, $e$.
- Reel Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların birleşimiyle oluşan küme. Sayı doğrusundaki tüm noktaları temsil eder. $\mathbb{R} = \mathbb{Q} \cup \mathbb{I}$.
- Şimdi seçenekleri inceleyelim:
- A) Her tam sayı bir doğal sayıdır.
- Bu ifade yanlıştır. Tam sayılar kümesi ($\mathbb{Z}$), doğal sayılar kümesinden ($\mathbb{N}$) farklı olarak negatif sayıları da içerir. Örneğin, $-5$ bir tam sayıdır ama bir doğal sayı değildir.
- B) Her rasyonel sayı bir tam sayıdır.
- Bu ifade yanlıştır. Rasyonel sayılar kümesi ($\mathbb{Q}$), tam sayılar kümesinden ($\mathbb{Z}$) farklı olarak kesirli sayıları da içerir. Örneğin, $ rac{1}{2}$ bir rasyonel sayıdır ama bir tam sayı değildir.
- C) Her irrasyonel sayı bir reel sayıdır.
- Bu ifade doğrudur. Reel sayılar kümesi ($\mathbb{R}$), rasyonel sayılar ($\mathbb{Q}$) ve irrasyonel sayılar ($\mathbb{I}$) kümelerinin birleşimidir. Tanım gereği, her irrasyonel sayı aynı zamanda bir reel sayıdır. Yani, $\mathbb{I} \subset \mathbb{R}$'dir.
- D) Her reel sayı bir rasyonel sayıdır.
- Bu ifade yanlıştır. Reel sayılar kümesi ($\mathbb{R}$), rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıları içerir. Örneğin, $\sqrt{2}$ bir reel sayıdır ama bir rasyonel sayı değildir; aksine bir irrasyonel sayıdır.
- E) Her doğal sayı bir irrasyonel sayıdır.
- Bu ifade yanlıştır. Doğal sayılar ($\mathbb{N}$), tam sayıların bir alt kümesidir ve dolayısıyla rasyonel sayılardır (her doğal sayı $n = rac{n}{1}$ şeklinde yazılabilir). İrrasyonel sayılar ise rasyonel olmayan sayılardır. Örneğin, $3$ bir doğal sayıdır ama bir irrasyonel sayı değildir; bir rasyonel sayıdır.
Bu analizler sonucunda, doğru ifadenin C seçeneğinde yer aldığını görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
