Merhaba sevgili öğrenciler!
Bugün, cebirsel ifadeleri çarpanlarına ayırma konusunda önemli bir örnek çözeceğiz. Verilen ifadeyi dikkatlice inceleyelim ve adım adım doğru cevaba ulaşalım.
- Adım 1: İfadeyi Tanıma
- Verilen ifade $x^2 - 4x + 4$ şeklindedir. Bu, ikinci dereceden bir üç terimli (trinom) ifadedir. Bu tür ifadeleri çarpanlarına ayırırken genellikle iki ana yöntem kullanırız: genel çarpanlara ayırma veya özel çarpanlara ayırma (özdeşlikler).
- Adım 2: Özel Çarpanlara Ayırma (Özdeşlikler) Kontrolü
- Öncelikle, bu ifadenin bir tam kare özdeşliği olup olmadığını kontrol edelim. Tam kare özdeşlikleri iki tiptir:
- $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
- $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
- İfademiz $x^2 - 4x + 4$. Bu ifadeyi $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ özdeşliği ile karşılaştıralım:
- $a^2$ yerine $x^2$ var, bu durumda $a = x$ diyebiliriz.
- $b^2$ yerine $4$ var, bu durumda $b = 2$ diyebiliriz (çünkü $2^2 = 4$).
- Şimdi orta terimi kontrol edelim: $-2ab$ yerine $-4x$ var. Eğer $a=x$ ve $b=2$ ise, $-2ab = -2(x)(2) = -4x$ olur.
- Gördüğümüz gibi, ifademiz $x^2 - 4x + 4$, tam olarak $(x - 2)^2$ özdeşliğine uymaktadır.
- Adım 3: Genel Çarpanlara Ayırma Yöntemi (Alternatif)
- Eğer tam kare özdeşliğini hemen fark edemezseniz, genel çarpanlara ayırma yöntemini kullanabilirsiniz. Bu yöntemde, $x^2 + bx + c$ şeklindeki bir ifadeyi çarpanlarına ayırmak için çarpımları $c$'yi veren ve toplamları $b$'yi veren iki sayı buluruz.
- İfademiz $x^2 - 4x + 4$. Burada $b = -4$ ve $c = 4$.
- Çarpımları $4$ olan sayı çiftleri: $(1, 4)$, $(-1, -4)$, $(2, 2)$, $(-2, -2)$.
- Bu çiftlerin toplamlarını bulalım:
- $1 + 4 = 5$
- $-1 + (-4) = -5$
- $2 + 2 = 4$
- $-2 + (-2) = -4$
- Toplamları $-4$ olan sayı çifti $(-2, -2)$'dir.
- Bu durumda, ifade $(x - 2)(x - 2)$ şeklinde çarpanlarına ayrılır. Bu da $(x - 2)^2$ demektir.
- Adım 4: Seçenekleri Karşılaştırma
- Bulduğumuz çarpanlara ayrılmış şekil $(x - 2)^2$'dir. Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) $(x - 2)(x + 2)$
- B) $(x - 4)(x - 1)$
- C) $(x - 2)^2$
- D) $(x + 2)^2$
- E) $(x - 4)(x + 1)$
- Doğru cevabın C seçeneği olduğunu görüyoruz.
Cevap C seçeneğidir.
