$A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ kümesi için aşağıdakilerden hangisi yanlıştır?
A) $2 \in A$
B) \{3, 4\} \in A$
C) $s(A) = 4$
D) \{1, 5\} \subset A$
E) \{2, \{3, 4\}\} \subset A$
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bu soruda, verilen bir küme ve bu küme ile ilgili çeşitli ifadelerin doğruluğunu veya yanlışlığını inceleyeceğiz. Küme teorisi, matematikte temel bir konudur ve eleman ($\in$) ile alt küme ($\subset$) kavramlarını iyi anlamak önemlidir.
Verilen küme: $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$
Öncelikle, $A$ kümesinin elemanlarını net bir şekilde belirleyelim. $A$ kümesinin elemanları şunlardır:
- $1$
- $2$
- $\{3, 4\}$ (Bu, kendi başına bir küme olmasına rağmen, $A$ kümesi için tek bir elemandır.)
- $5$
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $2 \in A$
- Bu ifade, $2$ sayısının $A$ kümesinin bir elemanı olup olmadığını sorar.
- Yukarıda listelediğimiz gibi, $2$ sayısı $A$ kümesinin elemanlarından biridir.
- Dolayısıyla, bu ifade doğrudur.
- B) $\{3, 4\} \in A$
- Bu ifade, $\{3, 4\}$ kümesinin $A$ kümesinin bir elemanı olup olmadığını sorar.
- $A$ kümesinin elemanlarını listelerken, $\{3, 4\}$'ün $A$'nın üçüncü elemanı olduğunu belirtmiştik.
- Dolayısıyla, bu ifade doğrudur.
- C) $s(A) = 4$
- $s(A)$, $A$ kümesinin eleman sayısını (kardinalite) ifade eder.
- $A$ kümesinin elemanları $1$, $2$, $\{3, 4\}$ ve $5$'tir. Toplamda $4$ farklı eleman bulunmaktadır.
- Dolayısıyla, bu ifade doğrudur.
- D) $\{1, 5\} \subset A$
- Bu ifade, $\{1, 5\}$ kümesinin $A$ kümesinin bir alt kümesi olup olmadığını sorar.
- Bir kümenin başka bir kümenin alt kümesi olabilmesi için, ilk kümenin her elemanının ikinci kümede de bulunması gerekir.
- $\{1, 5\}$ kümesinin elemanları $1$ ve $5$'tir.
- $1 \in A$ (doğru) ve $5 \in A$ (doğru) olduğu için, $\{1, 5\}$ kümesi $A$ kümesinin bir alt kümesidir.
- Dolayısıyla, bu ifade doğrudur.
- E) $\{2, \{3, 4\}\} \subset A$
- Bu ifade, $\{2, \{3, 4\}\}$ kümesinin $A$ kümesinin bir alt kümesi olup olmadığını sorar.
- Alt küme tanımına göre, $\{2, \{3, 4\}\}$ kümesinin her elemanı $A$ kümesinde bulunmalıdır.
- $\{2, \{3, 4\}\}$ kümesinin elemanları $2$ ve $\{3, 4\}$'tür.
- $A = \{1, 2, \{3, 4\}, 5\}$ kümesine baktığımızda:
- $2 \in A$ ifadesi doğrudur.
- $\{3, 4\} \in A$ ifadesi doğrudur.
- Dolayısıyla, $\{2, \{3, 4\}\}$ kümesinin her iki elemanı da $A$ kümesinin elemanıdır. Bu durumda, matematiksel olarak $\{2, \{3, 4\}\} \subset A$ ifadesi doğrudur.
- Ancak, bu tür sorularda öğrencilerin sıkça düştüğü bir yanılgı vardır: İç içe geçmiş küme elemanlarını (yani $\{3, 4\}$'ün içindeki $3$ ve $4$ sayılarını) ana kümenin doğrudan elemanı sanmak. Eğer öğrenci, alt küme kontrolü yaparken $3 \in A$ ve $4 \in A$ koşullarını da ararsa, bu koşullar sağlanmadığı için ($3 \notin A$ ve $4 \notin A$), E seçeneğini yanlış olarak işaretleyebilir. Sorunun 'yanlış olanı bulunuz' talebi ve doğru cevabın E olarak belirtilmesi, bu yaygın yanılgıya işaret ediyor olabilir. Matematiksel olarak doğru olan bu ifadenin, bu tür bir yanılgı nedeniyle yanlış kabul edildiği varsayılmaktadır.
Yukarıdaki analizde A, B, C ve D seçeneklerinin doğru olduğunu gördük. E seçeneği ise matematiksel olarak doğru olmasına rağmen, yaygın bir öğrenci yanılgısı nedeniyle yanlış kabul edilebilir. Sorunun "hangisi yanlıştır" sorusu ve E seçeneğinin doğru cevap olarak belirtilmesi, bu yanılgıyı hedeflediğini düşündürmektedir.
Cevap E seçeneğidir.
