$A = \{a, b, c, d, e\}$ kümesinin alt kümelerinin kaç tanesinde 'a' bulunur, 'b' bulunmaz?
A) 8Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, belirli koşulları sağlayan alt kümelerin sayısını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu tür soruları nasıl çözeceğimizi öğrenelim.
Elimizde $A = \{a, b, c, d, e\}$ kümesi var. Bu kümenin 5 elemanı bulunuyor. Bizden istenen alt kümeler için iki önemli koşul var:
Alt kümelerimizi oluştururken, 'a' elemanını her zaman alt kümeye dahil edeceğiz. 'b' elemanını ise hiçbir zaman dahil etmeyeceğiz. Bu iki elemanın durumu baştan belli ve bizim için bir seçim hakkı sunmuyorlar.
Ana kümemiz $A = \{a, b, c, d, e\}$ idi. 'a' ve 'b' elemanlarının durumu belli olduğuna göre, geriye kalan elemanlar üzerinde seçim yapma özgürlüğümüz var. Bu elemanlar:
$A - \{a, b\} = \{c, d, e\}$
Gördüğünüz gibi, geriye 3 eleman kaldı: 'c', 'd' ve 'e'.
Şimdi elimizde sadece $\{c, d, e\}$ kümesi varmış gibi düşünebiliriz. Bu 3 elemanın her biri, oluşturacağımız alt kümede ya bulunabilir ya da bulunmayabilir. Yani her eleman için 2 seçeneğimiz var (var ya da yok).
Toplam durum sayısı, bu seçeneklerin çarpımı kadardır: $2 \times 2 \times 2 = 2^3 = 8$.
Bu 8 durum, aslında $\{c, d, e\}$ kümesinin tüm alt kümeleridir. Örneğin, $\emptyset$, $\{c\}$, $\{d\}$, $\{e\}$, $\{c, d\}$, $\{c, e\}$, $\{d, e\}$, $\{c, d, e\}$.
Her bir alt küme oluşturma işleminde, 'c', 'd' ve 'e' elemanları için yaptığımız seçimlerin yanına, baştan zorunlu olarak belirlediğimiz 'a' elemanını ekleyeceğiz. 'b' elemanını ise hiçbir zaman eklemeyeceğiz.
Örneğin, $\{c, d, e\}$ kümesinin alt kümelerinden biri $\{c, d\}$ ise, bizim aradığımız alt kümelerden biri $\{a, c, d\}$ olacaktır. Bu alt kümede 'a' var, 'b' yok.
Dolayısıyla, $\{c, d, e\}$ kümesinin kaç tane alt kümesi varsa, 'a'yı içeren ve 'b'yi içermeyen o kadar alt küme vardır.
Bu sayı $2^3 = 8$'dir.
Cevap B seçeneğidir.
