Aşağıdakilerden hangisi sonlu kümedir?
A) \{x : x < 5, x \in \mathbb{N}\}
B) \{x : x > 5, x \in \mathbb{Z}\}
C) \{x : x \in \mathbb{R}\}
D) \{x : x^2 > 0, x \in \mathbb{Z}\}
E) \{x : x = 2n, n \in \mathbb{N}\}
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen kümelerden hangisinin sonlu küme olduğunu bulmamız isteniyor. Öncelikle "sonlu küme" ne anlama geliyor, onu hatırlayalım:
- Sonlu Küme: Elemanları sayılabilir ve bu sayma işlemi belirli bir sayıda sona eren kümelere denir. Yani, kümenin belirli ve sınırlı sayıda elemanı vardır.
- Sonsuz Küme: Elemanları sayılamayan veya sayma işlemi hiç bitmeyen kümelere denir. Bu kümelerin eleman sayısı sınırsızdır.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $ \{x : x < 5, x \in \mathbb{N}\} $
- Bu küme, 5'ten küçük doğal sayılardan oluşur.
- Doğal sayılar kümesi $ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} $ olarak kabul edilir (bazı tanımlarda 0 da dahil olabilir, ancak bu durumda sonuç değişmez).
- 5'ten küçük doğal sayılar şunlardır: $ 1, 2, 3, 4 $.
- Bu kümenin elemanları $ \{1, 2, 3, 4\} $ şeklindedir. Eleman sayısı 4'tür ve sınırlıdır.
- Bu nedenle, A seçeneğindeki küme sonlu bir kümedir.
- B) $ \{x : x > 5, x \in \mathbb{Z}\} $
- Bu küme, 5'ten büyük tam sayılardan oluşur.
- Tam sayılar kümesi $ \mathbb{Z} = \{\dots, -2, -1, 0, 1, 2, \dots\} $ şeklindedir.
- 5'ten büyük tam sayılar şunlardır: $ 6, 7, 8, 9, \dots $.
- Bu küme sonsuza kadar devam eder. Eleman sayısı sınırsızdır.
- Bu nedenle, B seçeneğindeki küme sonsuz bir kümedir.
- C) $ \{x : x \in \mathbb{R}\} $
- Bu küme, tüm gerçek (reel) sayılardan oluşur.
- Gerçek sayılar kümesi $ \mathbb{R} $, rasyonel ve irrasyonel sayıların birleşimidir ve sayı doğrusundaki tüm noktaları kapsar. Herhangi iki gerçek sayı arasında sonsuz sayıda başka gerçek sayı bulunur.
- Bu kümenin eleman sayısı sınırsızdır.
- Bu nedenle, C seçeneğindeki küme sonsuz bir kümedir.
- D) $ \{x : x^2 > 0, x \in \mathbb{Z}\} $
- Bu küme, karesi 0'dan büyük olan tam sayılardan oluşur.
- Bir sayının karesinin 0'dan büyük olması demek, o sayının 0 olmaması demektir. Çünkü $ 0^2 = 0 $. Diğer tüm pozitif ve negatif tam sayıların karesi pozitif olacaktır.
- Yani bu küme, 0 dışındaki tüm tam sayılardan oluşur: $ \{\dots, -3, -2, -1, 1, 2, 3, \dots\} $.
- Bu küme hem negatif hem de pozitif yönde sonsuza kadar devam eder. Eleman sayısı sınırsızdır.
- Bu nedenle, D seçeneğindeki küme sonsuz bir kümedir.
- E) $ \{x : x = 2n, n \in \mathbb{N}\} $
- Bu küme, $ n $ bir doğal sayı olmak üzere $ 2n $ şeklinde yazılabilen sayılardan oluşur. Yani pozitif çift sayılardır.
- Doğal sayılar $ \mathbb{N} = \{1, 2, 3, \dots\} $ olduğundan:
- $ n=1 \implies x = 2(1) = 2 $
- $ n=2 \implies x = 2(2) = 4 $
- $ n=3 \implies x = 2(3) = 6 $
- ve bu şekilde devam eder.
- Bu küme $ \{2, 4, 6, 8, \dots\} $ şeklindedir ve sonsuza kadar devam eder. Eleman sayısı sınırsızdır.
- Bu nedenle, E seçeneğindeki küme sonsuz bir kümedir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece A seçeneğindeki kümenin eleman sayısının sınırlı olduğunu görmekteyiz.
Cevap A seçeneğidir.
