Aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?
A) Her doğal sayı bir tam sayıdır.
B) Her rasyonel sayı bir doğal sayıdır.
C) Her irrasyonel sayı bir rasyonel sayıdır.
D) Her tam sayı bir irrasyonel sayıdır.
E) Her reel sayı bir tam sayıdır.
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, farklı sayı kümeleri arasındaki ilişkileri anlamamız gerekiyor. Sayı kümelerini hatırlayalım:
- Doğal Sayılar ($\mathbb{N}$): Genellikle $0, 1, 2, 3, ...$ şeklinde pozitif tam sayılar ve sıfırdan oluşan kümedir.
- Tam Sayılar ($\mathbb{Z}$): Negatif tam sayılar, sıfır ve pozitif tam sayılardan oluşan kümedir. Yani $..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...$
- Rasyonel Sayılar ($\mathbb{Q}$): $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılabilen sayılardır, burada $a$ ve $b$ birer tam sayı ve $b \neq 0$ olmalıdır. Örneğin $ rac{1}{2}$, $3$ ($ rac{3}{1}$), $-0.75$ ($ rac{-3}{4}$) gibi.
- İrrasyonel Sayılar ($\mathbb{I}$ veya $\mathbb{Q}'$): Rasyonel olmayan sayılardır. Yani $ rac{a}{b}$ şeklinde yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri devirsiz ve sonsuzdur. Örneğin $\sqrt{2}$, $\pi$ gibi.
- Reel Sayılar ($\mathbb{R}$): Rasyonel sayılar ve irrasyonel sayıların birleşimidir. Sayı doğrusundaki tüm noktaları temsil eder.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) Her doğal sayı bir tam sayıdır.
- Doğal sayılar kümesi $\{0, 1, 2, 3, ...\}$ şeklindedir.
- Tam sayılar kümesi $\{..., -2, -1, 0, 1, 2, ...\}$ şeklindedir.
- Gördüğümüz gibi, her doğal sayı aynı zamanda tam sayılar kümesinin bir elemanıdır. Örneğin $0$, $1$, $2$ hem doğal sayı hem de tam sayıdır. Bu ifade doğrudur. ($\mathbb{N} \subset \mathbb{Z}$)
- B) Her rasyonel sayı bir doğal sayıdır.
- Rasyonel sayılara örnek olarak $ rac{1}{2}$ veya $-3$ verebiliriz.
- Ancak $ rac{1}{2}$ bir doğal sayı değildir. $-3$ de bir doğal sayı değildir.
- Bu ifade yanlıştır.
- C) Her irrasyonel sayı bir rasyonel sayıdır.
- İrrasyonel sayılar tanım gereği rasyonel olmayan sayılardır. Yani bu iki küme tamamen ayrıktır, kesişmezler.
- Örneğin $\sqrt{2}$ bir irrasyonel sayıdır ama rasyonel sayı değildir.
- Bu ifade yanlıştır.
- D) Her tam sayı bir irrasyonel sayıdır.
- Tam sayılara örnek olarak $5$ veya $-2$ verebiliriz.
- $5$ bir tam sayıdır ama $ rac{5}{1}$ olarak yazılabildiği için aynı zamanda bir rasyonel sayıdır, irrasyonel değildir.
- Bu ifade yanlıştır.
- E) Her reel sayı bir tam sayıdır.
- Reel sayılar çok daha geniş bir kümedir. Örneğin $ rac{1}{2}$ bir reel sayıdır ama tam sayı değildir. $\pi$ bir reel sayıdır ama tam sayı değildir.
- Bu ifade yanlıştır.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece A seçeneğindeki ifadenin doğru olduğunu görüyoruz.
Cevap A seçeneğidir.
