Aşağıdaki limitlerden hangisinin değeri $\infty$ 'dur?
A) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$
B) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$
C) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$
D) $\lim_{x \to \infty} e^{-x}$
E) $\lim_{x \to 0} \sin(x)$
Bu soruyu çözerken, her bir seçeneği ayrı ayrı inceleyerek limitin değerini bulmaya çalışacağız. Amacımız, hangi seçenekte limitin sonsuz ($\infty$) olduğunu belirlemek.
- A) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x}$: Bu limitin değeri, $x$'in 0'a yaklaşma yönüne bağlıdır. Eğer $x$, 0'a sağdan yaklaşıyorsa (yani $x > 0$ ve $x \to 0^+$), $\frac{1}{x}$ pozitif sonsuza gider. Eğer $x$, 0'a soldan yaklaşıyorsa (yani $x < 0$ ve $x \to 0^-$), $\frac{1}{x}$ negatif sonsuza gider. Sağ ve sol limitler farklı olduğu için bu limitin değeri yoktur (ve $\infty$ değildir).
- B) $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}$: $x$ sonsuza giderken, $\frac{1}{x}$ değeri 0'a yaklaşır. Yani, $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0$'dır.
- C) $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2}$: $x$, 0'a yaklaşırken $x^2$ de 0'a yaklaşır. Ancak $x^2$ her zaman pozitiftir (çünkü bir sayının karesi negatifi olamaz). Bu nedenle, $\frac{1}{x^2}$ değeri pozitif sonsuza gider. Yani, $\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} = \infty$'dur.
- D) $\lim_{x \to \infty} e^{-x}$: $e^{-x}$ aynı zamanda $\frac{1}{e^x}$ olarak da yazılabilir. $x$ sonsuza giderken, $e^x$ de sonsuza gider. Bu durumda, $\frac{1}{e^x}$ değeri 0'a yaklaşır. Yani, $\lim_{x \to \infty} e^{-x} = 0$'dır.
- E) $\lim_{x \to 0} \sin(x)$: $x$, 0'a yaklaşırken $\sin(x)$ de 0'a yaklaşır. Yani, $\lim_{x \to 0} \sin(x) = 0$'dır.
Gördüğümüz gibi, sadece C seçeneğindeki limitin değeri $\infty$'dur.
Cevap C seçeneğidir.
