12. sınıf matematik 1. dönem 1. yazılı 5. senaryo Test 1

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ fonksiyonunun hangi aralıkta azalandır?

A) $(-\infty, 1)$
B) $(3, \infty)$
C) $(1, 3)$
D) $(-\infty, \infty)$
E) Fonksiyon daima artandır.

Bir fonksiyonun hangi aralıkta azalan olduğunu bulmak için, fonksiyonun birinci türevini alıp bu türevin negatif olduğu aralıkları belirlememiz gerekir. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Fonksiyonun Birinci Türevini Bulma:

  Verilen fonksiyon $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ şeklindedir. Bu fonksiyonun türevini alalım:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x + 1)$

  $f'(x) = 3x^{3-1} - 6 \cdot 2x^{2-1} + 9 \cdot 1x^{1-1} + 0$

  $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$

• 2. Kritik Noktaları Bulma:

  Fonksiyonun azalan veya artan olduğu aralıkları belirlemek için türevin işaretini incelememiz gerekir. Türevin işaret değiştirdiği noktalar, yani $f'(x) = 0$ olduğu noktalar kritik noktalardır. Bu noktaları bulalım:

  $3x^2 - 12x + 9 = 0$

  Denklemi basitleştirmek için her tarafı $3$'e bölelim:

  $x^2 - 4x + 3 = 0$

• 3. Kritik Noktaları Çözme:

  Bu ikinci dereceden denklemi çarpanlarına ayırarak çözebiliriz. Çarpımları $3$ ve toplamları $-4$ olan iki sayı $-1$ ve $-3$'tür.

  $(x - 1)(x - 3) = 0$

  Buradan kritik noktalar:

  $x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1$

  $x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

• 4. Türevin İşaretini İnceleme:

  Kritik noktalar $x=1$ ve $x=3$, sayı doğrusunu üç aralığa ayırır: $(-\infty, 1)$, $(1, 3)$ ve $(3, \infty)$. Her aralıkta türevin işaretini inceleyelim:

  • Aralık $(-\infty, 1)$ için: Bu aralıktan bir test değeri seçelim, örneğin $x=0$.

    $f'(0) = 3(0)^2 - 12(0) + 9 = 9$.

    Türev pozitif ($f'(x) > 0$) olduğu için fonksiyon bu aralıkta artandır.

  • Aralık $(1, 3)$ için: Bu aralıktan bir test değeri seçelim, örneğin $x=2$.

    $f'(2) = 3(2)^2 - 12(2) + 9 = 3(4) - 24 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3$.

    Türev negatif ($f'(x) < 0$) olduğu için fonksiyon bu aralıkta azalandır.

  • Aralık $(3, \infty)$ için: Bu aralıktan bir test değeri seçelim, örneğin $x=4$.

    $f'(4) = 3(4)^2 - 12(4) + 9 = 3(16) - 48 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9$.

    Türev pozitif ($f'(x) > 0$) olduğu için fonksiyon bu aralıkta artandır.

• 5. Azalan Aralığı Belirleme:

  Fonksiyonun azalan olduğu aralık, türevin negatif olduğu aralıktır. Yaptığımız incelemeye göre, $f'(x) < 0$ olduğu aralık $(1, 3)$'tür.

Cevap C seçeneğidir.