12. sınıf matematik 1. dönem 1. yazılı 5. senaryo Test 1

Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi $f(x) = |x|$ fonksiyonunun $x = 0$ noktasındaki durumunu en iyi açıklar?

A) Süreklidir ve türevlenebilirdir.
B) Süreklidir ancak türevlenemezdir.
C) Süreksizdir ve türevlenemezdir.
D) Süreksizdir ancak türevlenebilirdir.
E) Tanımsızdır.

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda, $f(x) = |x|$ fonksiyonunun $x = 0$ noktasındaki davranışını incelememiz isteniyor. Bir fonksiyonun belirli bir noktadaki durumunu açıklarken genellikle süreklilik ve türevlenebilirlik kavramlarına bakarız. Şimdi bu iki kavramı $x=0$ noktası için adım adım inceleyelim.

• Adım 1: Fonksiyonu Anlayalım

  $f(x) = |x|$ fonksiyonu mutlak değer fonksiyonudur. Bu fonksiyon, $x \ge 0$ için $f(x) = x$ ve $x < 0$ için $f(x) = -x$ şeklinde tanımlanır. Grafiği, $x=0$ noktasında bir "V" şeklini alır ve bu noktada bir köşe oluşturur.

• Adım 2: $x=0$ Noktasında Sürekliliği İnceleyelim

  Bir fonksiyonun bir noktada sürekli olması için üç koşulun sağlanması gerekir:

  • Fonksiyon o noktada tanımlı olmalı.
  • Fonksiyonun o noktadaki limiti var olmalı.
  • Fonksiyonun o noktadaki değeri, limit değerine eşit olmalı.

  Şimdi bu koşulları $x=0$ için kontrol edelim:

  • Tanımlılık: $f(0) = |0| = 0$. Fonksiyon $x=0$ noktasında tanımlıdır.
  • Limit:
    • Sağdan limit: $\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} |x| = \lim_{x \to 0^+} x = 0$.
    • Soldan limit: $\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} |x| = \lim_{x \to 0^-} (-x) = 0$.
    Sağdan ve soldan limitler eşit olduğundan, $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$ limiti vardır.
  • Eşitlik: $f(0) = 0$ ve $\lim_{x \to 0} f(x) = 0$. Bu değerler birbirine eşittir.

  Bu üç koşul da sağlandığı için, $f(x) = |x|$ fonksiyonu $x=0$ noktasında süreklidir.

• Adım 3: $x=0$ Noktasında Türevlenebilirliği İnceleyelim

  Bir fonksiyonun bir noktada türevlenebilir olması için, o noktadaki sağdan ve soldan türevlerinin var ve birbirine eşit olması gerekir. Türev tanımını kullanarak inceleyelim: $f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$. Burada $a=0$ alacağız.

  • Sağdan türev ($f'(0^+)$):

    $\lim_{h \to 0^+} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{|h| - |0|}{h}$

    $h \to 0^+$ demek $h > 0$ demektir. Bu durumda $|h| = h$ olur.

    $\lim_{h \to 0^+} \frac{h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h}{h} = \lim_{h \to 0^+} 1 = 1$.

  • Soldan türev ($f'(0^-)$):

    $\lim_{h \to 0^-} \frac{f(0+h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{|h| - |0|}{h}$

    $h \to 0^-$ demek $h < 0$ demektir. Bu durumda $|h| = -h$ olur.

    $\lim_{h \to 0^-} \frac{-h - 0}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{-h}{h} = \lim_{h \to 0^-} (-1) = -1$.

  Sağdan türev ($1$) ve soldan türev ($-1$) birbirine eşit değildir ($1 \ne -1$). Bu nedenle, $f(x) = |x|$ fonksiyonu $x=0$ noktasında türevlenemezdir.

  Grafiksel olarak düşündüğümüzde, $x=0$ noktasında keskin bir köşe olduğu için bu noktada tek bir teğet çizilemez. Bu da türevin var olmaması anlamına gelir.

• Adım 4: Sonuçları Değerlendirelim

  Yaptığımız incelemeler sonucunda $f(x) = |x|$ fonksiyonunun $x=0$ noktasında sürekli olduğunu ancak türevlenemez olduğunu bulduk.

  Şimdi seçenekleri kontrol edelim:

  • A) Süreklidir ve türevlenebilirdir. (Yanlış)
  • B) Süreklidir ancak türevlenemezdir. (Doğru)
  • C) Süreksizdir ve türevlenemezdir. (Yanlış)
  • D) Süreksizdir ancak türevlenebilirdir. (Yanlış)
  • E) Tanımsızdır. (Yanlış)

Cevap B seçeneğidir.