11. sınıf matematik 1. dönem 2. yazılı 8. senaryo meb Test 1

$\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ denkleminin $[0, 2\pi]$ aralığındaki çözüm kümesi nedir?

A) $\left\{\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right\}$
B) $\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right\}$
C) $\left\{\frac{\pi}{4}, \frac{3\pi}{4}\right\}$
D) $\left\{\frac{5\pi}{4}, \frac{7\pi}{4}\right\}$
E) $\left\{\frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}\right\}$

$\cos(x) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$ denkleminin $[0, 2\pi]$ aralığındaki çözüm kümesini bulalım.

• Adım 1: Kosinüsün Negatif Olduğu Bölgeleri Belirleme

Kosinüs fonksiyonu ikinci ve üçüncü bölgelerde negatiftir. Birim çember üzerinde, kosinüs değeri x-ekseni üzerindeki izdüşümdür. Bu nedenle, x-ekseninin negatif olduğu bölgelerde kosinüs negatiftir.

• Adım 2: Referans Açıyı Bulma

$\cos(x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ denklemini sağlayan referans açıyı bulalım. Bu açı $x = \frac{\pi}{4}$'tür, çünkü $\cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$'dir.

• Adım 3: İkinci Bölgedeki Çözümü Bulma

İkinci bölgedeki çözüm, $\pi - \text{referans açı}$ şeklinde bulunur. Yani, $x = \pi - \frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4}$'tür.

• Adım 4: Üçüncü Bölgedeki Çözümü Bulma

Üçüncü bölgedeki çözüm, $\pi + \text{referans açı}$ şeklinde bulunur. Yani, $x = \pi + \frac{\pi}{4} = \frac{5\pi}{4}$'tür.

• Adım 5: Çözüm Kümesini Yazma

Böylece, $[0, 2\pi]$ aralığındaki çözüm kümesi $\left\{\frac{3\pi}{4}, \frac{5\pi}{4}\right\}$'tür.

Cevap A seçeneğidir.