Aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) $\frac{1}{2} < \frac{1}{3} < \frac{1}{4}$
B) $\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$
C) $\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{1}{4}$
D) $\frac{1}{2} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3}$
Kesirleri sıralarken birkaç farklı yöntem kullanabiliriz. Bu soruda, payları aynı olan (birim kesirler) kesirleri karşılaştıracağız. Bu tür kesirleri karşılaştırmak için iki temel yöntemden bahsedelim:
- Yöntem 1: Paydaları Eşitleme
- Kesirleri karşılaştırmanın en güvenilir yollarından biri, tüm kesirlerin paydalarını eşitlemektir. Paydalar eşitlendiğinde, payı büyük olan kesir daha büyük olur.
- Verilen kesirler: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$.
- Paydalar 2, 3 ve 4'tür. Bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) 12'dir.
- Her kesri paydası 12 olacak şekilde genişletelim:
- $\frac{1}{2}$ kesrini 6 ile genişletirsek: $\frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12}$ olur.
- $\frac{1}{3}$ kesrini 4 ile genişletirsek: $\frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$ olur.
- $\frac{1}{4}$ kesrini 3 ile genişletirsek: $\frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$ olur.
- Şimdi kesirlerimiz $\frac{6}{12}$, $\frac{4}{12}$ ve $\frac{3}{12}$ şeklindedir.
- Paydaları eşit olduğunda, payı büyük olan kesir daha büyüktür. Bu durumda, payları sıralarsak: $3 < 4 < 6$ olur.
- Dolayısıyla, kesirlerin sıralaması: $\frac{3}{12} < \frac{4}{12} < \frac{6}{12}$ şeklindedir.
- Bu da orijinal kesirler cinsinden: $\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ anlamına gelir.
- Yöntem 2: Birim Kesirlerin Özelliği (Sezgisel Yaklaşım)
- Payı 1 olan kesirlere birim kesir denir. Birim kesirlerde, payda büyüdükçe kesrin değeri küçülür.
- Bunu bir pasta dilimi gibi düşünebiliriz:
- Bir pastayı 2 eşit parçaya bölerseniz, her parça pastanın yarısıdır ($\frac{1}{2}$).
- Aynı pastayı 3 eşit parçaya bölerseniz, her parça pastanın üçte biridir ($\frac{1}{3}$). Bu, yarımdan daha küçüktür.
- Aynı pastayı 4 eşit parçaya bölerseniz, her parça pastanın dörtte biridir ($\frac{1}{4}$). Bu da üçte birden daha küçüktür.
- Yani, bir bütünü ne kadar çok parçaya bölersek, her bir parçanın boyutu o kadar küçülür.
- Bu mantıkla, paydası en büyük olan kesir en küçük, paydası en küçük olan kesir ise en büyük olacaktır.
- Paydalarımız 2, 3, 4 olduğuna göre, en küçük payda 2'dir, dolayısıyla $\frac{1}{2}$ en büyük kesirdir.
- En büyük payda 4'tür, dolayısıyla $\frac{1}{4}$ en küçük kesirdir.
- Ortadaki payda 3'tür, dolayısıyla $\frac{1}{3}$ ortanca kesirdir.
- Sıralama: En küçükten en büyüğe doğru $\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ olur.
Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık: $\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$.
Şimdi seçenekleri kontrol edelim:
- A) $\frac{1}{2} < \frac{1}{3} < \frac{1}{4}$ (Yanlış)
- B) $\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ (Doğru)
- C) $\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{1}{4}$ (Yanlış)
- D) $\frac{1}{2} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3}$ (Yanlış)
Cevap B seçeneğidir.
