Paralel doğrular, aynı düzlemde bulunan ve kesişmeyen doğrulardır. Bu doğruların en önemli özelliklerinden biri eğimleridir.
Bir doğrunun x-ekseni ile yaptığı pozitif yönlü açının tanjant değerine eğim denir ve genellikle 'm' harfi ile gösterilir. İki noktası bilinen bir doğrunun eğimi şu formülle bulunur:
\( A(x_1, y_1) \) ve \( B(x_2, y_2) \) noktalarından geçen doğrunun eğimi: \( m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \)
Birbirine paralel olan doğruların eğimleri birbirine eşittir.
\( d_1 \parallel d_2 \) ise \( m_1 = m_2 \)
İki doğru paralelse, x-ekseni ile yaptıkları açılar eşittir. Eğim de bu açıların tanjantı olduğu için, açılar eşitse tanjantları, yani eğimleri de eşit olmak zorundadır.
Soru: \( y = (a - 2)x + 5 \) ve \( y = 4x + b \) doğruları paralel ise a kaçtır?
Çözüm: Doğrular paralel olduğu için eğimleri eşit olmalıdır.
\( m_1 = m_2 \) olduğundan:
\( a - 2 = 4 \)
\( a = 6 \)
Not: 'b' değeri, doğruların y-eksenini kestiği noktayı belirlediği için eğimi etkilemez. Bu nedenle paralellik koşulunda 'b' değerine bakılmaz.
İki doğrunun paralel olup olmadığını anlamak için eğimlerini karşılaştırırız. Eğer eğimler eşitse, bu doğrular paraleldir. Bu kural, analitik geometride doğru denklemlerini yazmak ve çeşitli problemleri çözmek için sıkça kullanılır.
Soru 1: Analitik düzlemde denklemleri \( 4x - 2y + 6 = 0 \) ve \( y = 2x - 5 \) olan iki doğru veriliyor. Bu doğruların birbirine paralel olup olmadığını belirlemek isteyen bir öğrenci, aşağıdaki adımlardan hangisini izlemelidir?
a) İki doğrunun eğimlerini ayrı ayrı hesaplayıp birbirine eşit olup olmadığına bakar.
b) İki doğrunun denklemlerini taraf tarafa toplayarak sonucu kontrol eder.
c) İki doğrunun y eksenini kestiği noktaları bulur ve karşılaştırır.
d) İki doğrunun x eksenini kestiği noktaları bulur ve karşılaştırır.
e) İki doğru denklemini çarparak sonucu sıfıra eşitler.
Cevap: a) İki doğrunun eğimlerini ayrı ayrı hesaplayıp birbirine eşit olup olmadığına bakar.
Çözüm: İki doğrunun paralel olması için eğimlerinin eşit olması gerekir. Birinci doğruyu \( y = 2x + 3 \) şeklinde, ikinci doğruyu ise \( y = 2x - 5 \) şeklinde yazarsak her ikisinin de eğiminin 2 olduğu görülür. Eğimler eşit olduğu için doğrular paraleldir.
Soru 2: Eğimi \( m = -\frac{3}{4} \) olan ve \( A(8, 2) \) noktasından geçen bir d doğrusu vardır. Bu doğruya paralel olan ve \( B(-4, k) \) noktasından geçen başka bir doğrunun denklemi aşağıdakilerden hangisi olabilir?
a) \( 3x + 4y - 20 = 0 \)
b) \( 3x - 4y + 28 = 0 \)
c) \( 6x + 8y - 16 = 0 \)
d) \( 6x - 8y + 12 = 0 \)
e) \( 9x + 12y + 24 = 0 \)
Cevap: a) \( 3x + 4y - 20 = 0 \)
Çözüm: Paralel doğruların eğimleri eşit olmalıdır. Seçeneklerdeki doğruların eğimlerini bulalım. a) seçeneğindeki \( 3x + 4y - 20 = 0 \) denklemi \( y = -\frac{3}{4}x + 5 \) şeklinde yazılır ve eğimi \( -\frac{3}{4} \)'tür. Bu, verilen eğime eşittir. Ayrıca bu doğru \( B(-4, k) \) noktasından geçer mi diye kontrol edersek; \( 3(-4) + 4(8) - 20 = -12 + 32 - 20 = 0 \) olduğu için \( k=8 \) olmak üzere bu noktadan da geçer.
Soru 3: \( y = (a-1)x + 4 \) ve \( y = (b+2)x - 7 \) doğruları birbirine paraleldir. Aynı zamanda, \( 2a - b = 10 \) olduğu bilindiğine göre, a ve b değerleri aşağıdakilerden hangisidir?
a) a=4, b=-2
b) a=5, b=0
c) a=3, b=-4
d) a=6, b=2
e) a=2, b=-6
Cevap: a) a=4, b=-2
Çözüm: Doğrular paralel olduğu için eğimleri eşittir: \( a-1 = b+2 \) → \( a - b = 3 \). Bu denklem ile verilen \( 2a - b = 10 \) denklemini ortak çözersek; ikinci denklemden birinciyi çıkarırsak \( (2a - b) - (a - b) =
