Bir üçgenin kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm'dir. Bu üçgenin alanını bulmak için hangi formülü kullanırız ve alan kaç cm²'dir?
A) Alan = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, Alan = 6 cm²
B) Alan = (Taban x Yükseklik) / 2, Alan = 10 cm²
C) Alan = a+b+c, Alan = 12 cm²
D) Alan = a x b x c, Alan = 60 cm²
Sevgili öğrenciler, bu soruda bir üçgenin kenar uzunlukları verilmiş ve bizden bu üçgenin alanını bulmamız isteniyor. Öncelikle verilen kenar uzunluklarına dikkatlice bakalım ve bu üçgenin özel bir üçgen olup olmadığını anlamaya çalışalım.
- Adım 1: Üçgenin Türünü Belirleme
- Verilen kenar uzunlukları 3 cm, 4 cm ve 5 cm'dir. Bu sayılar size tanıdık geldi mi? Bir üçgenin dik üçgen olup olmadığını anlamak için Pisagor Teoremi'ni ($a^2 + b^2 = c^2$) kullanabiliriz. Burada $a$ ve $b$ dik kenarlar, $c$ ise hipotenüstür (en uzun kenar).
- Kenarları küçükten büyüğe sıralayalım: 3, 4, 5. En uzun kenar 5 cm'dir, bu yüzden $c=5$ olabilir. Diğer kenarlar $a=3$ ve $b=4$ olsun.
- Şimdi Pisagor Teoremi'ni uygulayalım: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$.
- En uzun kenarın karesi ise $5^2 = 25$.
- Gördüğümüz gibi, $3^2 + 4^2 = 5^2$ eşitliği sağlanmaktadır. Bu, kenar uzunlukları 3, 4, 5 olan üçgenin bir dik üçgen olduğu anlamına gelir.
- Adım 2: Alan Formülünü Seçme ve Hesaplama (Dik Üçgen Yöntemi)
- Bir dik üçgenin alanı, dik kenarlarının çarpımının yarısı ile bulunur. Yani Alan = $(dik \ kenar_1 \times dik \ kenar_2) / 2$.
- Bu durumda, Alan = $(3 \ cm \times 4 \ cm) / 2 = 12 \ cm^2 / 2 = 6 \ cm^2$.
- Bu yöntemle alanı 6 cm² bulduk. Şimdi seçeneklere bakalım.
- Adım 3: Alan Formülünü Seçme ve Hesaplama (Heron Formülü Yöntemi)
- Seçenek A'da Heron Formülü verilmiş. Heron Formülü, kenar uzunlukları bilinen herhangi bir üçgenin alanını bulmak için kullanılan genel bir formüldür. Bu formülü de kullanarak sonucumuzu teyit edelim.
- Heron Formülü: Alan = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ şeklindedir. Burada $a, b, c$ üçgenin kenar uzunlukları ve $s$ ise üçgenin yarı çevresidir.
- Önce yarı çevreyi ($s$) bulalım: $s = (a+b+c)/2$.
- $s = (3 \ cm + 4 \ cm + 5 \ cm) / 2 = 12 \ cm / 2 = 6 \ cm$.
- Şimdi bu değeri Heron Formülü'ne yerleştirelim:
- Alan = $\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}$
- Alan = $\sqrt{6(3)(2)(1)}$
- Alan = $\sqrt{36}$
- Alan = $6 \ cm^2$.
- Her iki yöntemle de üçgenin alanını 6 cm² olarak bulduk.
- Adım 4: Seçenekleri Değerlendirme
- A) Alan = $\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$, Alan = 6 cm²: Bu seçenek hem doğru formülü hem de doğru alanı vermektedir.
- B) Alan = (Taban x Yükseklik) / 2, Alan = 10 cm²: Formül doğru olsa da, hesaplanan alan yanlıştır (biz 6 cm² bulduk).
- C) Alan = a+b+c, Alan = 12 cm²: Bu formül üçgenin çevresini verir, alanını değil.
- D) Alan = a x b x c, Alan = 60 cm²: Bu formül üçgenin alanı için doğru değildir.
Gördüğümüz gibi, hem Heron formülü hem de dik üçgen alanı formülüyle doğru sonuç olan 6 cm²'ye ulaştık. Seçenek A, Heron formülünü ve doğru alanı bir arada sunmaktadır.
Cevap A seçeneğidir.
