Aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?
A) $\frac{1}{2} < \frac{1}{3} < \frac{1}{4}$
B) $\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$
C) $\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{1}{4}$
D) $\frac{1}{2} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3}$
E) $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{1}{3}$
Kesirleri sıralarken birkaç farklı yöntem kullanabiliriz. Bu soruda verilen kesirlerin payları (üst kısımları) aynı olduğu için özel bir kuraldan faydalanabiliriz. Ayrıca, kesirleri ortak bir paydada eşitleyerek de sıralama yapabiliriz.
- Yöntem 1: Payları Aynı Olan Kesirleri Sıralama Kuralı
- Eğer kesirlerin payları aynı ise (bu soruda hepsi $1$), paydası küçük olan kesir daha büyüktür. Yani, payda büyüdükçe kesrin değeri küçülür.
- Elimizdeki kesirler: $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{3}$, $\frac{1}{4}$.
- Paydalarımız $2$, $3$ ve $4$.
- Bu paydaları küçükten büyüğe sıralarsak: $2 < 3 < 4$.
- Yukarıdaki kurala göre, paydası en küçük olan kesir en büyük, paydası en büyük olan kesir ise en küçük olacaktır.
- Yani, $\frac{1}{4}$ en küçük, $\frac{1}{3}$ ortanca ve $\frac{1}{2}$ en büyüktür.
- Bu durumda doğru sıralama küçükten büyüğe: $\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ olur.
- Yöntem 2: Ortak Paydada Eşitleme
- Kesirleri karşılaştırmanın bir diğer yolu, hepsini ortak bir paydada eşitlemektir. Bunun için paydaların (yani $2$, $3$ ve $4$'ün) en küçük ortak katını (EKOK) buluruz.
- $2$, $3$ ve $4$'ün EKOK'u $12$'dir.
- Şimdi her bir kesri paydası $12$ olacak şekilde genişletelim:
- $\frac{1}{2}$ kesrini $6$ ile genişletirsek: $\frac{1 \times 6}{2 \times 6} = \frac{6}{12}$
- $\frac{1}{3}$ kesrini $4$ ile genişletirsek: $\frac{1 \times 4}{3 \times 4} = \frac{4}{12}$
- $\frac{1}{4}$ kesrini $3$ ile genişletirsek: $\frac{1 \times 3}{4 \times 3} = \frac{3}{12}$
- Şimdi kesirlerimiz $\frac{6}{12}$, $\frac{4}{12}$ ve $\frac{3}{12}$ oldu.
- Paydaları aynı olan kesirleri sıralarken, payı büyük olan kesir daha büyüktür.
- Paylarımızı küçükten büyüğe sıralarsak: $3 < 4 < 6$.
- Bu durumda kesirlerimizin sıralaması: $\frac{3}{12} < \frac{4}{12} < \frac{6}{12}$ olur.
- Bu kesirlerin orijinal hallerini yerine yazarsak: $\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ sonucunu elde ederiz.
- Her iki yöntemle de aynı sonuca ulaştık. Şimdi seçeneklere bakalım:
- A) $\frac{1}{2} < \frac{1}{3} < \frac{1}{4}$ (Yanlış)
- B) $\frac{1}{4} < \frac{1}{3} < \frac{1}{2}$ (Doğru)
- C) $\frac{1}{3} < \frac{1}{2} < \frac{1}{4}$ (Yanlış)
- D) $\frac{1}{2} < \frac{1}{4} < \frac{1}{3}$ (Yanlış)
- E) $\frac{1}{4} < \frac{1}{2} < \frac{1}{3}$ (Yanlış)
Cevap B seçeneğidir.
