$\frac{x-1}{x+2} > 0$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$
B) $(-2, 1)$
C) $\mathbb{R} - \{-2\}$
D) $\mathbb{R}$
E) $\emptyset$
Bu eşitsizliği çözmek için adım adım ilerleyelim:
- Adım 1: Kritik Noktaları Bulma
- Eşitsizliğin payını ve paydasını sıfır yapan $x$ değerlerini bulmalıyız. Bu değerlere "kritik noktalar" denir.
- Payı sıfır yapan değer: $x-1 = 0 \implies x = 1$
- Paydayı sıfır yapan değer: $x+2 = 0 \implies x = -2$
- Bu kritik noktalar, sayı doğrusunu belirli aralıklara ayırır.
- Adım 2: İşaret Tablosu Oluşturma (veya Aralıkları Test Etme)
- Kritik noktalarımız $x = -2$ ve $x = 1$. Bu noktaları sayı doğrusuna yerleştirdiğimizde üç farklı aralık oluşur: $(-\infty, -2)$, $(-2, 1)$ ve $(1, \infty)$.
- Her aralıktan bir test değeri seçerek $\frac{x-1}{x+2}$ ifadesinin işaretini inceleyelim:
- Aralık 1: $(-\infty, -2)$
- Bu aralıktan bir değer seçelim, örneğin $x = -3$.
- $\frac{-3-1}{-3+2} = \frac{-4}{-1} = 4$.
- $4 > 0$ olduğu için, bu aralıktaki tüm $x$ değerleri eşitsizliği sağlar.
- Aralık 2: $(-2, 1)$
- Bu aralıktan bir değer seçelim, örneğin $x = 0$.
- $\frac{0-1}{0+2} = \frac{-1}{2}$.
- $-\frac{1}{2} < 0$ olduğu için, bu aralıktaki $x$ değerleri eşitsizliği sağlamaz.
- Aralık 3: $(1, \infty)$
- Bu aralıktan bir değer seçelim, örneğin $x = 2$.
- $\frac{2-1}{2+2} = \frac{1}{4}$.
- $\frac{1}{4} > 0$ olduğu için, bu aralıktaki tüm $x$ değerleri eşitsizliği sağlar.
- Adım 3: Çözüm Kümesini Belirleme
- Bizden istenen eşitsizlik $\frac{x-1}{x+2} > 0$ idi, yani ifadenin pozitif olduğu aralıkları arıyoruz.
- Yaptığımız testlere göre, ifade $(-\infty, -2)$ ve $(1, \infty)$ aralıklarında pozitiftir.
- Eşitsizlikte "büyüktür" ($>$) işareti olduğu için, kritik noktalar çözüm kümesine dahil edilmez. Çünkü $x=1$ için ifade $0$ olur ($0 > 0$ yanlış), $x=-2$ için ise ifade tanımsız olur.
- Bu aralıkların birleşimi çözüm kümesini oluşturur.
Çözüm kümesi $(-\infty, -2) \cup (1, \infty)$ şeklindedir.
Cevap A seçeneğidir.
