Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, verilen sayılardan hangisinin bir irrasyonel sayı olduğunu bulmamız isteniyor. Öncelikle rasyonel ve irrasyonel sayıların ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- Rasyonel Sayılar: İki tam sayının oranı (kesri) olarak yazılabilen sayılardır. Yani, $\frac{a}{b}$ şeklinde ifade edilebilirler, burada $a$ bir tam sayı, $b$ sıfırdan farklı bir tam sayıdır. Ondalık gösterimleri ya sonludur ya da tekrar eden bir örüntüye sahiptir.
- İrrasyonel Sayılar: İki tam sayının oranı olarak yazılamayan sayılardır. Ondalık gösterimleri sonsuzdur ve tekrar etmeyen bir örüntüye sahiptir. Yani, ondalık kısmında belirli bir düzen veya tekrar yoktur.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $\sqrt{4}$:
- $\sqrt{4}$ ifadesinin değeri $2$'dir.
- $2$ sayısı, $\frac{2}{1}$ şeklinde bir kesir olarak yazılabilir.
- Bu nedenle, $2$ bir rasyonel sayıdır.
- B) $\frac{2}{3}$:
- Bu sayı zaten $\frac{a}{b}$ şeklinde bir kesir olarak verilmiştir, burada $a=2$ ve $b=3$ tam sayılardır ve $b \neq 0$'dır.
- Ondalık gösterimi $0.666...$ şeklinde tekrar eden bir sayıdır.
- Bu nedenle, $\frac{2}{3}$ bir rasyonel sayıdır.
- C) $\sqrt{5}$:
- $5$ sayısı bir tam kare değildir (yani, hiçbir tam sayının karesi $5$ değildir).
- $\sqrt{5}$'in yaklaşık değeri $2.2360679...$ şeklindedir. Bu ondalık gösterim sonsuzdur ve tekrar eden bir örüntüye sahip değildir.
- $\sqrt{5}$ iki tam sayının oranı olarak yazılamaz.
- Bu nedenle, $\sqrt{5}$ bir irrasyonel sayıdır.
- D) $0.75$:
- Bu sayı sonlu bir ondalık sayıdır.
- $0.75$ sayısı, $\frac{75}{100}$ veya sadeleştirilmiş haliyle $\frac{3}{4}$ şeklinde bir kesir olarak yazılabilir.
- Bu nedenle, $0.75$ bir rasyonel sayıdır.
- E) $\sqrt{9}$:
- $\sqrt{9}$ ifadesinin değeri $3$'tür.
- $3$ sayısı, $\frac{3}{1}$ şeklinde bir kesir olarak yazılabilir.
- Bu nedenle, $3$ bir rasyonel sayıdır.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece $\sqrt{5}$ sayısının bir irrasyonel sayı olduğunu görmekteyiz.
Cevap C seçeneğidir.
