Aynı yükseklikten serbest bırakılan iki cisimden birinin kütlesi diğerinin iki katıdır. Hava direnci önemsiz olduğuna göre, yere çarpma hızları arasındaki ilişki nedir?
A) Eşittir
B) Kütlesi büyük olanın hızı daha büyüktür
C) Kütlesi küçük olanın hızı daha büyüktür
D) Kütlesi büyük olanın hızı iki katıdır
E) Kütlesi küçük olanın hızı iki katıdır
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruyu çözmek için serbest düşme hareketinin temel prensiplerini ve enerji korunumu ilkesini hatırlayalım. Hava direncinin önemsiz olduğu durumlar, fizik problemlerinde sıkça karşımıza çıkar ve bu durum, cisimlerin hareketini kütlelerinden bağımsız hale getiren önemli bir varsayımdır.
- Soruyu Anlayalım:
- İki cisim var.
- Aynı yükseklikten ($h$) serbest bırakılıyorlar. "Serbest bırakılma" demek, başlangıç hızlarının ($v_0$) sıfır olduğu anlamına gelir.
- Cisimlerden birinin kütlesi ($m_1$) diğerinin kütlesinin ($m_2$) iki katıdır. Yani $m_2 = 2m_1$ diyebiliriz.
- En kritik bilgi: "Hava direnci önemsizdir." Bu, cisimlerin sadece yerçekimi kuvvetinin etkisi altında hareket ettiği anlamına gelir.
- Bizden istenen, yere çarpma hızları arasındaki ilişkiyi bulmak.
- Fiziksel Prensip:
- Hava direncinin olmadığı bir ortamda, tüm cisimler (kütleleri ne olursa olsun) aynı yerçekimi ivmesi ($g$) ile düşer. Bu, Galileo'nun ünlü Pisa Kulesi deneyiyle de gösterdiği bir gerçektir. Yani, bir tüy ile bir gülle aynı anda bırakıldığında, hava direnci yoksa yere aynı anda ve aynı hızla çarparlar.
- Enerji Korunumu Yöntemiyle Çözüm:
- Hava direnci önemsiz olduğu için, cisimlerin mekanik enerjisi (potansiyel enerji + kinetik enerji) korunur.
- Başlangıçta (yükseklik $h$'deyken):
- Cisimler serbest bırakıldığı için başlangıç kinetik enerjileri $KE_{başlangıç} = \frac{1}{2}mv_0^2 = 0$ olur.
- Sadece potansiyel enerjileri vardır: $PE_{başlangıç} = mgh$.
- Toplam başlangıç enerjisi: $E_{başlangıç} = mgh$.
- Yere çarptıkları anda (yükseklik $0$'dayken):
- Potansiyel enerjileri $PE_{son} = mg(0) = 0$ olur.
- Tüm enerji kinetik enerjiye dönüşmüştür: $KE_{son} = \frac{1}{2}mv^2$. Burada $v$, yere çarpma hızıdır.
- Toplam son enerji: $E_{son} = \frac{1}{2}mv^2$.
- Enerji korunumu ilkesine göre $E_{başlangıç} = E_{son}$ olduğundan:
- $mgh = \frac{1}{2}mv^2$
- Bu denklemde dikkat ederseniz, cismin kütlesi ($m$) denklemin her iki tarafında da yer alır ve sadeleşir!
- $gh = \frac{1}{2}v^2$
- Yere çarpma hızı için denklemi düzenlersek: $v^2 = 2gh \Rightarrow v = \sqrt{2gh}$
- Kinematik Yöntemiyle Çözüm (Alternatif):
- Serbest düşme hareketinde, başlangıç hızı $v_0 = 0$ ve ivme $a = g$ (yerçekimi ivmesi) olarak alınır.
- Yere çarpma hızını bulmak için zamandan bağımsız kinematik denklemi kullanabiliriz: $v^2 = v_0^2 + 2ah$.
- Verilenleri yerine koyarsak: $v^2 = 0^2 + 2gh$.
- Yani, $v = \sqrt{2gh}$.
- Sonuç:
- Her iki çözüm yönteminde de yere çarpma hızı $v = \sqrt{2gh}$ olarak bulunur.
- Bu formülde cismin kütlesi ($m$) yer almaz. Yere çarpma hızı sadece yerçekimi ivmesine ($g$) ve cismin bırakıldığı yüksekliğe ($h$) bağlıdır.
- Soruda her iki cismin de aynı yükseklikten serbest bırakıldığı ve hava direncinin önemsiz olduğu belirtildiğine göre, kütleleri ne olursa olsun yere çarpma hızları birbirine eşit olacaktır.
Cevap A seçeneğidir.
