Aşağıdaki fonksiyonlardan hangisi $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$ fonksiyonunun yerel minimum noktasının apsisini bulmak için kullanılacak türev yönteminin bir adımıdır?
A) $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0$
B) $f''(x) = 6x - 6 > 0$
C) $f(x) = 0$
D) $f'(x) = 0$ ve $f''(x) < 0$
E) $f'(x) = 0$ ve $f''(x) > 0$
Merhaba sevgili öğrenciler,
Bir fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisini bulmak için türev yöntemlerini nasıl kullandığımızı adım adım inceleyelim. Bu süreç, iki ana adımdan oluşur: kritik noktaları bulmak ve bu noktaların yerel minimum mu yoksa yerel maksimum mu olduğunu belirlemek.
-
Adım 1: Birinci Türev ile Kritik Noktaları Bulma
Bir fonksiyonun yerel ekstremum (minimum veya maksimum) noktaları, fonksiyonun eğiminin sıfır olduğu noktalarda meydana gelir. Bu noktalara kritik noktalar denir. Bu nedenle, ilk olarak fonksiyonun birinci türevini alır ve sıfıra eşitleriz.
- Verilen fonksiyonumuz: $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 1$
- Bu fonksiyonun birinci türevini alalım:
- $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 3x^2 + 2x - 1)$
- $f'(x) = 3x^{3-1} - 3 \cdot 2x^{2-1} + 2 \cdot 1x^{1-1} - 0$
- $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$
- Kritik noktaları bulmak için $f'(x)$'i sıfıra eşitleriz: $3x^2 - 6x + 2 = 0$. Bu denklemden $x$ değerlerini buluruz. Bu $x$ değerleri, potansiyel yerel minimum veya maksimum noktalarının apsisleridir.
-
Adım 2: İkinci Türev ile Ekstremum Türünü Belirleme (Yerel Minimum/Maksimum Testi)
Kritik noktaların gerçekten yerel minimum mu yoksa yerel maksimum mu olduğunu anlamak için ikinci türev testini kullanırız. Bunun için fonksiyonun ikinci türevini almamız gerekir.
- Birinci türevimiz: $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$
- İkinci türevini alalım:
- $f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 6x + 2)$
- $f''(x) = 3 \cdot 2x^{2-1} - 6 \cdot 1x^{1-1} + 0$
- $f''(x) = 6x - 6$
- Şimdi, bulduğumuz kritik noktaları (yani $f'(x)=0$ denkleminin köklerini) $f''(x)$'e yerleştiririz:
- Eğer bir kritik nokta $c$ için $f''(c) > 0$ ise, o noktada bir yerel minimum vardır. Fonksiyon o noktada yukarı doğru bükülür (konkav yukarı).
- Eğer bir kritik nokta $c$ için $f''(c) < 0$ ise, o noktada bir yerel maksimum vardır. Fonksiyon o noktada aşağı doğru bükülür (konkav aşağı).
- Eğer $f''(c) = 0$ ise, test sonuç vermez ve başka yöntemler (örneğin birinci türev testi) kullanılması gerekir.
-
Seçeneklerin Değerlendirilmesi:
- A) $f'(x) = 3x^2 - 6x + 2 = 0$: Bu, yerel minimum noktasının apsisini bulmak için atılan ilk ve çok önemli bir adımdır (kritik noktaları bulma). Ancak tek başına yerel minimum olduğunu garantilemez, sadece adayları belirler.
- B) $f''(x) = 6x - 6 > 0$: Bu, bir noktanın yerel minimum olduğunu belirlemek için kullanılan bir koşuldur. Ancak bu koşulun uygulanabilmesi için öncelikle o noktanın bir kritik nokta olması ($f'(x)=0$) gerekir. Tek başına bir adım değil, bir koşuldur.
- C) $f(x) = 0$: Bu, fonksiyonun köklerini (x eksenini kestiği noktaları) bulmak için kullanılır, yerel minimum veya maksimum noktalarını değil. Bu seçenek yanlıştır.
- D) $f'(x) = 0$ ve $f''(x) < 0$: Bu koşullar, bir yerel maksimum noktasını bulmak için kullanılır. Soru yerel minimumu sorduğu için bu seçenek yanlıştır.
- E) $f'(x) = 0$ ve $f''(x) > 0$: Bu iki koşul bir araya geldiğinde, bir fonksiyonun yerel minimum noktasının apsisini bulmak için kullanılan ikinci türev testinin *tam ve eksiksiz* adımlarını ve koşullarını ifade eder. Önce $f'(x)=0$ ile kritik noktaları buluruz, ardından bu kritik noktalarda $f''(x)>0$ koşulunu kontrol ederek yerel minimumu teyit ederiz. Bu, yerel minimumu bulma yönteminin temel bir adımıdır.
Sonuç olarak, yerel minimum noktasının apsisini bulmak için hem kritik noktaları belirlemeli ($f'(x)=0$) hem de bu noktalarda fonksiyonun konkav yukarı olduğunu doğrulamalıyız ($f''(x)>0$). Bu iki koşul birlikte, yerel minimumu bulmak için türev yönteminin temel adımlarını oluşturur.
Cevap E seçeneğidir.
