$f(x) = \sin(2x)$ fonksiyonunun $[0, \pi]$ aralığındaki ortalama değeri nedir?
A) 0Bir fonksiyonun belirli bir aralıktaki ortalama değerini bulmak için belirli integral formülünü kullanırız. Bu problemde, $f(x) = \sin(2x)$ fonksiyonunun $[0, \pi]$ aralığındaki ortalama değerini bulmamız isteniyor.
Ortalama Değer Formülü: Bir $f(x)$ fonksiyonunun $[a, b]$ aralığındaki ortalama değeri aşağıdaki formülle bulunur:
$f_{ort} = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \, dx$
Verilenleri Belirleme: Soruda verilen fonksiyon $f(x) = \sin(2x)$ ve aralık $[0, \pi]$'dir. Bu durumda $a = 0$ ve $b = \pi$ olur.
Formülü Uygulama: Şimdi bu değerleri ortalama değer formülüne yerleştirelim:
$f_{ort} = \frac{1}{\pi - 0} \int_{0}^{\pi} \sin(2x) \, dx$
$f_{ort} = \frac{1}{\pi} \int_{0}^{\pi} \sin(2x) \, dx$
İntegrali Hesaplama: Öncelikle $\int \sin(2x) \, dx$ integralini hesaplayalım. Bu bir zincir kuralı tersi integralidir. $u = 2x$ dersek, $du = 2 \, dx$ olur, yani $dx = \frac{1}{2} \, du$.
$\int \sin(2x) \, dx = \int \sin(u) \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int \sin(u) \, du$
$\int \sin(u) \, du = -\cos(u)$ olduğu için:
$\frac{1}{2} (-\cos(u)) = -\frac{1}{2} \cos(2x)$
Belirli İntegrali Değerlendirme: Şimdi bu sonucu belirli integralin sınırları olan $0$ ve $\pi$ arasında değerlendirelim:
$\int_{0}^{\pi} \sin(2x) \, dx = \left[ -\frac{1}{2} \cos(2x) \right]_{0}^{\pi}$
$= \left( -\frac{1}{2} \cos(2\pi) \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos(2 \cdot 0) \right)$
$= \left( -\frac{1}{2} \cos(2\pi) \right) - \left( -\frac{1}{2} \cos(0) \right)$
Kosinüs değerlerini yerine koyalım: $\cos(2\pi) = 1$ ve $\cos(0) = 1$.
$= \left( -\frac{1}{2} \cdot 1 \right) - \left( -\frac{1}{2} \cdot 1 \right)$
$= -\frac{1}{2} - \left( -\frac{1}{2} \right)$
$= -\frac{1}{2} + \frac{1}{2}$
$= 0$
Ortalama Değeri Hesaplama: Son olarak, bu integral sonucunu ortalama değer formülüne geri yerleştirelim:
$f_{ort} = \frac{1}{\pi} \cdot 0$
$f_{ort} = 0$
Buna göre, $f(x) = \sin(2x)$ fonksiyonunun $[0, \pi]$ aralığındaki ortalama değeri $0$'dır.
Cevap A seçeneğidir.
