Mutlak değer içeren bir eşitsizliği nasıl çözeceğimizi ve bu eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamını nasıl bulacağımızı adım adım öğreneceğiz. Sorumuz: $|2x-3| < 7$ eşitsizliğini sağlayan $x$ tam sayılarının toplamı kaçtır?
- Adım 1: Mutlak Değer Eşitsizliğinin Temel Kuralını Anlayalım
- Genel olarak, bir $A$ ifadesinin mutlak değeri için $|A| < B$ (burada $B$ pozitif bir sayıdır) eşitsizliği, $A$ ifadesinin $-B$ ile $B$ arasında olduğunu ifade eder. Yani, $A$ sayısı $-B$'den büyük ve $B$'den küçüktür. Matematiksel olarak bunu $-B < A < B$ şeklinde yazarız.
- Bizim sorumuzda $A = 2x-3$ ve $B = 7$'dir.
- Adım 2: Eşitsizliği Genişletelim
- Yukarıdaki kuralı kullanarak, verilen $|2x-3| < 7$ eşitsizliğini şu şekilde yazabiliriz:
- $-7 < 2x-3 < 7$
- Adım 3: $x$'i Yalnız Bırakalım
- Amacımız, eşitsizliğin ortasında sadece $x$ kalmasını sağlamaktır. Bunun için eşitsizliğin her üç tarafına aynı işlemleri uygulayacağız.
- Önce, ortadaki $-3$'ü yok etmek için eşitsizliğin her tarafına $3$ ekleyelim:
- $-7 + 3 < 2x-3 + 3 < 7 + 3$
- Bu işlemi yaptığımızda eşitsizliğimiz şöyle olur:
- $-4 < 2x < 10$
- Şimdi, ortadaki $2x$'i $x$ yapmak için eşitsizliğin her tarafını $2$'ye bölelim:
- $\frac{-4}{2} < \frac{2x}{2} < \frac{10}{2}$
- Bu işlemi yaptığımızda $x$ için aralığı buluruz:
- $-2 < x < 5$
- Adım 4: Eşitsizliği Sağlayan Tam Sayıları Bulalım
- Bulduğumuz $-2 < x < 5$ eşitsizliği, $x$'in $-2$'den büyük ve $5$'ten küçük tam sayılar olması gerektiğini söyler.
- Bu aralıktaki tam sayılar şunlardır: $-1, 0, 1, 2, 3, 4$.
- Adım 5: Bu Tam Sayıların Toplamını Bulalım
- Şimdi bulduğumuz tam sayıları toplayalım:
- Toplam $= (-1) + 0 + 1 + 2 + 3 + 4$
- Pozitif ve negatif $1$ birbirini götürür:
- Toplam $= 0 + 2 + 3 + 4$
- Toplam $= 9$
Böylece, eşitsizliği sağlayan $x$ tam sayılarının toplamını $9$ olarak bulmuş olduk.
Cevap D seçeneğidir.
