Basit Eşitsizlikler: TYT İçin Konu Anlatımı ve Örnek Sorular Test 1

$\frac{6}{x-2} > 3$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı $x$ tam sayısı vardır?

A) $0$
B) $1$
C) $2$
D) $3$
E) $4$

Bugün sizlerle birlikte bir eşitsizlik sorusunu adım adım çözeceğiz. Amacımız, verilen eşitsizliği sağlayan kaç farklı tam sayı olduğunu bulmak.

Sorumuz: $\frac{6}{x-2} > 3$ eşitsizliğini sağlayan kaç farklı $x$ tam sayısı vardır?

• Adım 1: Tanım kümesini belirleyelim ve eşitsizliği düzenleyelim.

  Verilen eşitsizlik $\frac{6}{x-2} > 3$ şeklindedir. Rasyonel ifadelerde paydanın sıfır olamayacağını unutmamalıyız. Bu nedenle $x-2 \neq 0$, yani $x \neq 2$ olmalıdır. Bu, çözüm kümemizden $x=2$ değerini çıkarmamız gerektiği anlamına gelir.

  Eşitsizlikleri çözerken, genellikle tüm terimleri bir tarafa toplayıp sıfır ile karşılaştırmak en güvenli yoldur. Bu, paydanın işaretine bağlı olarak eşitsizlik yönünün değişmesi riskini ortadan kaldırır.

  $\frac{6}{x-2} - 3 > 0$

• Adım 2: Terimleri tek bir kesir altında birleştirelim.

  Ortak payda $x-2$ olacak şekilde ifadeyi düzenleyelim:

  $\frac{6}{x-2} - \frac{3(x-2)}{x-2} > 0$

  Pay kısmını açalım ve sadeleştirelim:

  $\frac{6 - (3x - 6)}{x-2} > 0$

  $\frac{6 - 3x + 6}{x-2} > 0$

  $\frac{12 - 3x}{x-2} > 0$

• Adım 3: Kritik noktaları bulalım.

  Kritik noktalar, payı veya paydayı sıfır yapan $x$ değerleridir. Bu noktalar, eşitsizliğin işaret değiştirebileceği noktalardır.

  Payı sıfır yapan değer: $12 - 3x = 0 \Rightarrow 3x = 12 \Rightarrow x = 4$.

  Paydayı sıfır yapan değer: $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$.

  Kritik noktalarımız $x=2$ ve $x=4$'tür.

• Adım 4: İşaret tablosu oluşturalım veya aralıkları test edelim.

  Kritik noktalar, sayı doğrusunu $(-\infty, 2)$, $(2, 4)$ ve $(4, \infty)$ olmak üzere üç aralığa ayırır. Her aralıktan bir test değeri seçerek $\frac{12 - 3x}{x-2}$ ifadesinin işaretini belirleyelim.

  Aralık $(-\infty, 2)$ için ($x=0$ seçelim): $\frac{12 - 3(0)}{0-2} = \frac{12}{-2} = -6$. Bu aralıkta ifade negatiftir.

  Aralık $(2, 4)$ için ($x=3$ seçelim): $\frac{12 - 3(3)}{3-2} = \frac{12 - 9}{1} = \frac{3}{1} = 3$. Bu aralıkta ifade pozitiftir.

  Aralık $(4, \infty)$ için ($x=5$ seçelim): $\frac{12 - 3(5)}{5-2} = \frac{12 - 15}{3} = \frac{-3}{3} = -1$. Bu aralıkta ifade negatiftir.

  Bizim eşitsizliğimiz $\frac{12 - 3x}{x-2} > 0$ olduğundan, ifadenin pozitif olduğu aralığı arıyoruz. Bu aralık $(2, 4)$'tür.

• Adım 5: Çözüm kümesini ve tam sayıları belirleyelim.

  Eşitsizliği sağlayan $x$ değerleri $2 < x < 4$ aralığındadır.

  Bu aralıktaki tam sayılar sadece $x=3$'tür.

  Başlangıçtaki kısıtlamamız $x \neq 2$ idi. $x=3$ bu kısıtlamayı sağlamaktadır.

• Adım 6: Kaç farklı tam sayı olduğunu sayalım.

  Eşitsizliği sağlayan tek bir tam sayı değeri vardır: $x=3$.

Bu nedenle, eşitsizliği sağlayan $1$ farklı $x$ tam sayısı vardır.

Cevap B seçeneğidir.