Sıfırdan farklı $a$ ve $b$ gerçel sayıları için $a < b < 0$ olduğuna göre, aşağıdakilerden hangisi daima doğrudur?
A) $a^2 < b^2$
B) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
C) $a-b > 0$
D) $a \cdot b < 0$
E) $a+b > 0$
Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda verilen eşitsizliği kullanarak seçenekleri tek tek inceleyelim ve hangisinin daima doğru olduğunu bulalım.
Bize verilen bilgi: Sıfırdan farklı $a$ ve $b$ gerçel sayıları için $a < b < 0$.
- Bu ifade, hem $a$ hem de $b$ sayılarının negatif olduğunu ve $a$'nın $b$'den daha küçük (yani sayı doğrusunda daha solda) olduğunu gösterir. Başka bir deyişle, $a$ sayısı $b$'den daha "negatif"tir.
- Örnek olarak, $a = -5$ ve $b = -2$ sayılarını düşünebiliriz. Bu değerler $a < b < 0$ koşulunu sağlar. Şimdi seçenekleri bu örnek üzerinden ve genel mantıkla inceleyelim.
A) $a^2 < b^2$
- $a < b < 0$ olduğunda, sayıların mutlak değerleri için $|a| > |b|$ ilişkisi vardır. Örneğin, $a = -5$ ve $b = -2$ ise, $|-5| = 5$ ve $|-2| = 2$ olup $5 > 2$ dir.
- Negatif sayıların karelerini aldığımızda, mutlak değeri büyük olan sayının karesi de büyük olur. Yani, $|a| > |b|$ ise $a^2 > b^2$ olur.
- Örnekle kontrol edelim: $a = -5$, $b = -2$ için $a^2 = (-5)^2 = 25$ ve $b^2 = (-2)^2 = 4$. Burada $25 < 4$ ifadesi yanlıştır, çünkü $25 > 4$ tür.
- Bu seçenek daima doğru değildir.
B) $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$
- Eşitsizliklerde her iki tarafın da çarpmaya göre tersini (tersini) aldığımızda, sayıların işaretleri aynıysa eşitsizlik yön değiştirir. Eğer sayılar pozitifse ($0 < x < y \implies \frac{1}{x} > \frac{1}{y}$), eğer sayılar negatifse ($x < y < 0 \implies \frac{1}{x} > \frac{1}{y}$).
- Bizim durumumuzda $a < b < 0$ olduğu için, her iki sayı da negatiftir. Bu durumda terslerini aldığımızda eşitsizlik yön değiştirecektir.
- Örnekle kontrol edelim: $a = -5$, $b = -2$ için $\frac{1}{a} = \frac{1}{-5} = -0.2$ ve $\frac{1}{b} = \frac{1}{-2} = -0.5$. Burada $-0.2 > -0.5$ ifadesi doğrudur.
- Bu seçenek daima doğrudur.
C) $a-b > 0$
- Verilen $a < b$ eşitsizliğinde her iki taraftan $b$ çıkarırsak, $a-b < b-b$ yani $a-b < 0$ elde ederiz.
- Bu da $a-b$ farkının negatif olduğunu gösterir.
- Örnekle kontrol edelim: $a = -5$, $b = -2$ için $a-b = (-5) - (-2) = -5 + 2 = -3$. Burada $-3 > 0$ ifadesi yanlıştır, çünkü $-3 < 0$ dır.
- Bu seçenek daima doğru değildir.
D) $a \cdot b < 0$
- $a < b < 0$ olduğu için hem $a$ hem de $b$ negatif sayılardır.
- İki negatif sayının çarpımı daima pozitif bir sayıdır. Yani $a \cdot b > 0$ olmalıdır.
- Örnekle kontrol edelim: $a = -5$, $b = -2$ için $a \cdot b = (-5) \cdot (-2) = 10$. Burada $10 < 0$ ifadesi yanlıştır, çünkü $10 > 0$ dır.
- Bu seçenek daima doğru değildir.
E) $a+b > 0$
- $a < b < 0$ olduğu için hem $a$ hem de $b$ negatif sayılardır.
- İki negatif sayının toplamı daima negatif bir sayıdır. Yani $a+b < 0$ olmalıdır.
- Örnekle kontrol edelim: $a = -5$, $b = -2$ için $a+b = (-5) + (-2) = -7$. Burada $-7 > 0$ ifadesi yanlıştır, çünkü $-7 < 0$ dır.
- Bu seçenek daima doğru değildir.
Yapılan incelemeler sonucunda, sadece B seçeneğinin daima doğru olduğu görülmüştür.
Cevap B seçeneğidir.
