$x$ bir gerçel sayı olmak üzere, $x^2 < 9$ eşitsizliğinin çözüm kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
A) $(-3, 3)$Bu soruda, bir gerçel sayı olan $x$ için $x^2 < 9$ eşitsizliğinin çözüm kümesini bulmamız isteniyor. Bu tür eşitsizlikleri çözerken birkaç farklı yol izleyebiliriz. Şimdi adım adım bu eşitsizliği inceleyelim:
Öncelikle eşitsizliğin ne anlama geldiğini düşünelim: "$x$'in karesi 9'dan küçüktür."
Eşitsizliğin her iki tarafının karekökünü alırken dikkatli olmalıyız. $\sqrt{x^2}$ ifadesi $|x|$ olarak çıkar, çünkü $x$ negatif bir sayı da olabilir ve karesi alındığında pozitif olur. Yani $\sqrt{x^2} = |x|$'tir.
Eşitsizliğin her iki tarafının karekökünü alalım:
$\sqrt{x^2} < \sqrt{9}$
Bu ifadeyi basitleştirelim:
$|x| < 3$
Mutlak değer eşitsizliklerinin temel kuralını hatırlayalım: $|x| < a$ ise, bu $-a < x < a$ anlamına gelir. Burada $a=3$ olduğu için:
$-3 < x < 3$
Bu eşitsizlik, $x$'in -3 ile 3 arasında (dahil değil) tüm gerçel sayı değerlerini alabileceği anlamına gelir.
Çözüm kümesini aralık (interval) gösterimiyle ifade edersek, uç noktaların dahil olmadığı durumlarda parantez kullanılır. Bu durumda çözüm kümesi $(-3, 3)$ olur.
Alternatif bir yöntem olarak, eşitsizliği $x^2 - 9 < 0$ şeklinde yazıp çarpanlarına ayırabiliriz. Bu bir iki kare farkıdır: $(x-3)(x+3) < 0$. Bu ifadenin sıfır olduğu kritik noktalar $x=3$ ve $x=-3$'tür. Bu noktaları bir sayı doğrusunda işaretleyip aralıkları test ettiğimizde, $-3 < x < 3$ aralığında ifadenin negatif olduğunu (yani 0'dan küçük olduğunu) görürüz.
Cevap A seçeneğidir.
