Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ tanımlı fonksiyonlar arasından birebir (injective) olanı bulmamız isteniyor. Öncelikle birebir fonksiyonun ne anlama geldiğini hatırlayalım:
- Bir $f: A \to B$ fonksiyonunun birebir olması için, $A$ kümesindeki farklı elemanların $B$ kümesinde farklı görüntülere sahip olması gerekir. Yani, eğer $x_1 \neq x_2$ ise, $f(x_1) \neq f(x_2)$ olmalıdır. Veya buna denk olarak, eğer $f(x_1) = f(x_2)$ ise, bu ancak $x_1 = x_2$ olduğunda mümkündür.
Şimdi seçenekleri tek tek inceleyelim:
- A) $f(x) = x^2$
- Bu fonksiyon birebir değildir. Örneğin, $x_1 = 2$ ve $x_2 = -2$ alalım. $x_1 \neq x_2$ olmasına rağmen, $f(2) = 2^2 = 4$ ve $f(-2) = (-2)^2 = 4$ olur. Yani $f(2) = f(-2)$'dir. Farklı girişler aynı çıkışı verdiğinden, bu fonksiyon birebir değildir.
- B) $f(x) = |x|$
- Bu fonksiyon da birebir değildir. Örneğin, $x_1 = 3$ ve $x_2 = -3$ alalım. $x_1 \neq x_2$ olmasına rağmen, $f(3) = |3| = 3$ ve $f(-3) = |-3| = 3$ olur. Yani $f(3) = f(-3)$'tür. Farklı girişler aynı çıkışı verdiğinden, bu fonksiyon birebir değildir.
- C) $f(x) = x^3$
- Bu fonksiyonun birebir olup olmadığını kontrol edelim. Varsayalım ki $f(x_1) = f(x_2)$ olsun. Bu durumda $x_1^3 = x_2^3$ demektir. Her iki tarafın küp kökünü aldığımızda, $\sqrt[3]{x_1^3} = \sqrt[3]{x_2^3}$ olur. Buradan da $x_1 = x_2$ sonucuna ulaşırız. Bu, $f(x_1) = f(x_2)$ eşitliğinin ancak $x_1 = x_2$ olduğunda sağlanabileceği anlamına gelir. Dolayısıyla, $f(x) = x^3$ fonksiyonu birebirdir. Bu fonksiyonun grafiği sürekli artan bir yapıya sahiptir.
- D) $f(x) = \cos x$
- Bu fonksiyon birebir değildir. Kosinüs fonksiyonu periyodik bir fonksiyondur. Örneğin, $x_1 = 0$ ve $x_2 = 2\pi$ alalım. $x_1 \neq x_2$ olmasına rağmen, $f(0) = \cos(0) = 1$ ve $f(2\pi) = \cos(2\pi) = 1$ olur. Yani $f(0) = f(2\pi)$'dir. Farklı girişler aynı çıkışı verdiğinden, bu fonksiyon birebir değildir.
- E) $f(x) = x^4$
- Bu fonksiyon da birebir değildir. Örneğin, $x_1 = 1$ ve $x_2 = -1$ alalım. $x_1 \neq x_2$ olmasına rağmen, $f(1) = 1^4 = 1$ ve $f(-1) = (-1)^4 = 1$ olur. Yani $f(1) = f(-1)$'dir. Farklı girişler aynı çıkışı verdiğinden, bu fonksiyon birebir değildir.
Yukarıdaki incelemeler sonucunda, sadece $f(x) = x^3$ fonksiyonunun birebir olduğunu görmüş olduk.
Cevap C seçeneğidir.
