5. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 1. Senaryo Test 2

Alanı $36 \text{ cm}^2$ olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayıdır. Buna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğu en az kaç santimetre olabilir?

A) $24 \text{ cm}$

B) $26 \text{ cm}$

C) $30 \text{ cm}$

D) $40 \text{ cm}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, alanı belirli olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı olduğunda, çevre uzunluğunun en az kaç olabileceğini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:

• 1. Adım: Verilen Bilgileri Anlayalım ve Neyi Bulacağımızı Belirleyelim.

  Bize verilen bilgi, dikdörtgenin alanının $36 \text{ cm}^2$ olduğudur. Ayrıca, kenar uzunluklarının doğal sayı (yani $1, 2, 3, \dots$) olması gerektiği belirtilmiştir. Bizden istenen ise bu dikdörtgenin çevre uzunluğunun alabileceği en küçük değeri bulmaktır.

  Bir dikdörtgenin alanı, uzun kenarı ile kısa kenarının çarpımına eşittir. Çevre uzunluğu ise tüm kenarlarının toplamıdır veya $2 \times (\text{uzun kenar} + \text{kısa kenar})$ formülüyle bulunur.

• 2. Adım: Alanı $36 \text{ cm}^2$ Olan Dikdörtgenin Olası Kenar Uzunluklarını Bulalım.

  Kenar uzunlukları doğal sayı olduğuna göre, çarpımları $36$ eden tüm doğal sayı çiftlerini bulmalıyız. Bu çiftler, dikdörtgenin olası kenar uzunluklarını temsil eder:

  • $1 \text{ cm} \times 36 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2$
  • $2 \text{ cm} \times 18 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2$
  • $3 \text{ cm} \times 12 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2$
  • $4 \text{ cm} \times 9 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2$
  • $6 \text{ cm} \times 6 \text{ cm} = 36 \text{ cm}^2$ (Bu durumda dikdörtgen aslında bir karedir, kare de özel bir dikdörtgen türüdür.)
• 3. Adım: Her Bir Kenar Uzunluğu Çifti İçin Çevre Uzunluğunu Hesaplayalım.

  Çevre formülümüz $P = 2 \times (a + b)$ idi. Şimdi her bir durum için çevreyi hesaplayalım:

  • Kenarlar $1 \text{ cm}$ ve $36 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (1 + 36) = 2 \times 37 = 74 \text{ cm}$
  • Kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $18 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (2 + 18) = 2 \times 20 = 40 \text{ cm}$
  • Kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (3 + 12) = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}$
  • Kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (4 + 9) = 2 \times 13 = 26 \text{ cm}$
  • Kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (6 + 6) = 2 \times 12 = 24 \text{ cm}$
• 4. Adım: Hesapladığımız Çevre Uzunlukları Arasından En Küçüğünü Seçelim.

  Hesapladığımız çevre uzunlukları şunlardır: $74 \text{ cm}$, $40 \text{ cm}$, $30 \text{ cm}$, $26 \text{ cm}$ ve $24 \text{ cm}$.

  Bu değerler arasında en küçük olanı $24 \text{ cm}$'dir.

  Gördüğümüz gibi, belirli bir alana sahip dikdörtgenlerde, kenar uzunlukları birbirine yaklaştıkça (yani şekil kareye yaklaştıkça) çevre uzunluğu küçülür. Kenarların eşit olduğu durum (kare) en küçük çevreyi verir.

Buna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğu en az $24 \text{ cm}$ olabilir.

Cevap A seçeneğidir.