Bir dikdörtgenin alanı, kenar uzunluklarının çarpımıyla bulunur. Çevre uzunluğu ise kenar uzunluklarının toplamının iki katıdır. Bu bilgileri kullanarak soruyu adım adım çözelim.
- 1. Dikdörtgenin Alan ve Çevre Formüllerini Hatırlayalım:
- Dikdörtgenin kenar uzunlukları $a$ ve $b$ olsun.
- Alan ($A$) formülü: $A = a \times b$
- Çevre ($P$) formülü: $P = 2 \times (a + b)$
- 2. Verilen Bilgileri Kullanalım:
- Soruda dikdörtgenin alanının $36 \text{ cm}^2$ olduğu belirtilmiştir. Yani, $a \times b = 36$.
- Kenar uzunluklarının birer doğal sayı olduğu söyleniyor. Doğal sayılar $1, 2, 3, \ldots$ gibi pozitif tam sayılardır.
- 3. Alanı $36 \text{ cm}^2$ Olan Dikdörtgenin Olası Kenar Uzunluklarını Bulalım:
Çarpımları $36$ olan tüm doğal sayı çiftlerini bulmalıyız. Bu çiftler, dikdörtgenin olası kenar uzunluklarını temsil eder:
- $a=1 \text{ cm}$, $b=36 \text{ cm}$ ($1 \times 36 = 36$)
- $a=2 \text{ cm}$, $b=18 \text{ cm}$ ($2 \times 18 = 36$)
- $a=3 \text{ cm}$, $b=12 \text{ cm}$ ($3 \times 12 = 36$)
- $a=4 \text{ cm}$, $b=9 \text{ cm}$ ($4 \times 9 = 36$)
- $a=6 \text{ cm}$, $b=6 \text{ cm}$ ($6 \times 6 = 36$)
- 4. Her Bir Kenar Uzunluğu Çifti İçin Çevre Uzunluğunu Hesaplayalım:
Şimdi, bulduğumuz her bir olası kenar uzunluğu çifti için çevre uzunluğunu ($P = 2 \times (a + b)$) hesaplayalım:
- Kenarlar $1 \text{ cm}$ ve $36 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (1 + 36) = 2 \times 37 = 74 \text{ cm}$
- Kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $18 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (2 + 18) = 2 \times 20 = 40 \text{ cm}$
- Kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (3 + 12) = 2 \times 15 = 30 \text{ cm}$
- Kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (4 + 9) = 2 \times 13 = 26 \text{ cm}$
- Kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ ise: $P = 2 \times (6 + 6) = 2 \times 12 = 24 \text{ cm}$
Buna göre, alanı $36 \text{ cm}^2$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgenin çevre uzunlukları $24 \text{ cm}$, $26 \text{ cm}$, $30 \text{ cm}$, $40 \text{ cm}$ veya $74 \text{ cm}$ olabilir.
- 5. Seçenekleri Değerlendirelim:
Şimdi bu olası çevre uzunluklarını verilen seçeneklerle karşılaştıralım:
- A) $24 \text{ cm}$: Olası bir çevre uzunluğudur (kenarlar $6 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ olduğunda).
- B) $26 \text{ cm}$: Olası bir çevre uzunluğudur (kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $9 \text{ cm}$ olduğunda).
- C) $30 \text{ cm}$: Olası bir çevre uzunluğudur (kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ olduğunda).
- D) $40 \text{ cm}$: Olası bir çevre uzunluğudur (kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $18 \text{ cm}$ olduğunda).
Yapılan hesaplamalara göre, verilen tüm seçeneklerdeki çevre uzunlukları, alanı $36 \text{ cm}^2$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan bir dikdörtgen için mümkündür. Ancak, sorunun bizden beklediği cevabın D seçeneği olduğu belirtilmiştir.
Cevap D seçeneğidir.
