5. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 4. senaryo Test 3

Alanı $24 \text{ cm}^2$ olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları birer doğal sayıdır.
Buna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğu en az kaç santimetre olabilir?

A) $20 \text{ cm}$

B) $22 \text{ cm}$

C) $28 \text{ cm}$

D) $50 \text{ cm}$

Merhaba sevgili öğrenciler!

Bu soruda, alanı belirli olan bir dikdörtgenin kenar uzunlukları doğal sayı iken çevre uzunluğunun en az kaç olabileceğini bulacağız. Bu tür soruları çözerken adım adım ilerlemek ve tüm olasılıkları değerlendirmek çok önemlidir.

• Adım 1: Dikdörtgenin Alanı ve Kenar Uzunlukları Arasındaki İlişkiyi Anlayalım

  Bir dikdörtgenin alanı, kısa kenarı ile uzun kenarının çarpımına eşittir. Soruda alanın $24 \text{ cm}^2$ olduğu verilmiş. Kenar uzunluklarına $a$ ve $b$ dersek, bu durumda $a \times b = 24$ olur.

  Ayrıca, kenar uzunluklarının birer doğal sayı olduğu belirtilmiş. Doğal sayılar, $1, 2, 3, \dots$ şeklinde devam eden pozitif tam sayılardır.

• Adım 2: Çarpımları $24$ Olan Doğal Sayı Çiftlerini Bulalım

  Şimdi, çarpımları $24$ olan tüm doğal sayı çiftlerini (dikdörtgenin olası kenar uzunluklarını) listeleyelim:

  • $1 \times 24 = 24$ (Kenarlar $1 \text{ cm}$ ve $24 \text{ cm}$)
  • $2 \times 12 = 24$ (Kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$)
  • $3 \times 8 = 24$ (Kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $8 \text{ cm}$)
  • $4 \times 6 = 24$ (Kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$)

  Bu dört farklı dikdörtgen, alanı $24 \text{ cm}^2$ olan ve kenar uzunlukları doğal sayı olan tüm olası dikdörtgenlerdir.

• Adım 3: Her Bir Dikdörtgenin Çevre Uzunluğunu Hesaplayalım

  Bir dikdörtgenin çevre uzunluğu, kenar uzunlukları $a$ ve $b$ ise $2 \times (a + b)$ formülüyle bulunur. Şimdi bulduğumuz her bir kenar çifti için çevre uzunluğunu hesaplayalım:

  • Kenarlar $1 \text{ cm}$ ve $24 \text{ cm}$ ise: Çevre $= 2 \times (1 + 24) = 2 \times 25 = 50 \text{ cm}$.
  • Kenarlar $2 \text{ cm}$ ve $12 \text{ cm}$ ise: Çevre $= 2 \times (2 + 12) = 2 \times 14 = 28 \text{ cm}$.
  • Kenarlar $3 \text{ cm}$ ve $8 \text{ cm}$ ise: Çevre $= 2 \times (3 + 8) = 2 \times 11 = 22 \text{ cm}$.
  • Kenarlar $4 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ ise: Çevre $= 2 \times (4 + 6) = 2 \times 10 = 20 \text{ cm}$.
• Adım 4: En Küçük Çevre Uzunluğunu Belirleyelim

  Hesapladığımız çevre uzunlukları şunlardır: $50 \text{ cm}$, $28 \text{ cm}$, $22 \text{ cm}$ ve $20 \text{ cm}$. Bu değerler arasında en küçük olanı $20 \text{ cm}$'dir.

  Genel bir kural olarak, alanı sabit olan bir dikdörtgenin çevresinin en küçük olması için kenar uzunluklarının birbirine en yakın olması gerekir. Bu durumda $4 \text{ cm}$ ve $6 \text{ cm}$ kenarları birbirine en yakın olanlardır ve en küçük çevreyi vermiştir.

Buna göre, bu dikdörtgenin çevre uzunluğu en az $20 \text{ cm}$ olabilir.

Cevap A seçeneğidir.