Bir ikinci dereceden denklemin kökleri verildiğinde, o denklemi nasıl bulacağımızı adım adım inceleyelim. Kökler, denklemi sıfır yapan $x$ değerleridir. Bu bilgiyi kullanarak denklemi iki farklı yolla oluşturabiliriz.
- Yöntem 1: Kökler ve Katsayılar Arasındaki İlişkiyi Kullanma
- Genel bir ikinci dereceden denklem $ax^2 + bx + c = 0$ şeklinde yazılır. Eğer denklemin kökleri $x_1$ ve $x_2$ ise, bu kökler ile katsayılar arasında önemli ilişkiler vardır:
- Kökler toplamı: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$
- Kökler çarpımı: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$
- Ayrıca, $a=1$ olan denklemler için (seçeneklerdeki tüm denklemler bu formdadır), denklem $x^2 - (\text{kökler toplamı})x + (\text{kökler çarpımı}) = 0$ şeklinde yazılabilir.
- Şimdi, bize verilen kökleri kullanalım: $x_1 = 2$ ve $x_2 = -3$.
- Kökler toplamını hesaplayalım: $x_1 + x_2 = 2 + (-3) = 2 - 3 = -1$.
- Kökler çarpımını hesaplayalım: $x_1 \cdot x_2 = 2 \cdot (-3) = -6$.
- Bu değerleri $x^2 - (\text{kökler toplamı})x + (\text{kökler çarpımı}) = 0$ formülünde yerine koyalım:
- $x^2 - (-1)x + (-6) = 0$
- Denklemi düzenleyelim: $x^2 + x - 6 = 0$.
- Bu denklem, seçeneklerdeki A şıkkı ile aynıdır.
- Yöntem 2: Kökleri Denklemlerde Deneme
- Bir diğer yöntem ise, verilen kökleri (2 ve -3) her bir seçenekteki denkleme tek tek yerleştirerek denklemi sıfır yapıp yapmadığını kontrol etmektir. Denklemi sıfır yapan seçenek doğru cevaptır.
- A) $x^2 + x - 6 = 0$
- $x = 2$ için: $(2)^2 + (2) - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$. (Doğru)
- $x = -3$ için: $(-3)^2 + (-3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$. (Doğru)
- Her iki kök de denklemi sağladığı için A seçeneği doğru cevaptır.
- Diğer seçenekleri de kontrol edelim (sadece bir tanesi doğru olacağı için bu adımda durabiliriz, ancak öğrenme amacıyla kontrol etmek faydalıdır):
- B) $x^2 - x - 6 = 0$
- $x = 2$ için: $(2)^2 - (2) - 6 = 4 - 2 - 6 = -4 \neq 0$. (Yanlış)
- C) $x^2 + 5x + 6 = 0$
- $x = 2$ için: $(2)^2 + 5(2) + 6 = 4 + 10 + 6 = 20 \neq 0$. (Yanlış)
- D) $x^2 - 5x + 6 = 0$
- $x = -3$ için: $(-3)^2 - 5(-3) + 6 = 9 + 15 + 6 = 30 \neq 0$. (Yanlış)
Her iki yöntem de bizi aynı sonuca ulaştırdı.
Cevap A seçeneğidir.
