Merhaba sevgili öğrenciler, bu soruda köklerinden biri verilen rasyonel katsayılı ikinci dereceden denklemi bulacağız. Bu tür soruları çözerken bilmemiz gereken önemli bir kural var.
- Temel Kural: Rasyonel katsayılı bir ikinci dereceden denklemin köklerinden biri $a + \sqrt{b}$ (veya $a - \sqrt{b}$) şeklinde irrasyonel bir sayı ise, diğer kök mutlaka bu kökün eşleniği (konjügesi) olmak zorundadır. Yani, eğer bir kök $a + \sqrt{b}$ ise, diğer kök $a - \sqrt{b}$'dir.
- Soruda bize verilen kök $x_1 = 1 - \sqrt{2}$'dir. Denklemin katsayıları rasyonel olduğu için, diğer kök $x_2$ bu kökün eşleniği olmalıdır.
- O halde, ikinci kök $x_2 = 1 + \sqrt{2}$'dir.
- Şimdi, kökleri bilinen ikinci dereceden denklemi yazmak için kökler toplamı ($S$) ve kökler çarpımı ($P$) formüllerini kullanacağız. Genel denklem $x^2 - Sx + P = 0$ şeklindedir.
- Kökler Toplamı ($S$):
- $S = x_1 + x_2$
- $S = (1 - \sqrt{2}) + (1 + \sqrt{2})$
- $S = 1 - \sqrt{2} + 1 + \sqrt{2}$
- $S = 1 + 1 = 2$
- Kökler Çarpımı ($P$):
- $P = x_1 \cdot x_2$
- $P = (1 - \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})$
- Bu ifade, $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ özdeşliğine uyar. Burada $a=1$ ve $b=\sqrt{2}$'dir.
- $P = 1^2 - (\sqrt{2})^2$
- $P = 1 - 2$
- $P = -1$
- Şimdi bulduğumuz $S$ ve $P$ değerlerini $x^2 - Sx + P = 0$ denkleminde yerine yazalım:
- $x^2 - (2)x + (-1) = 0$
- $x^2 - 2x - 1 = 0$
- Elde ettiğimiz denklem $x^2 - 2x - 1 = 0$ şeklindedir. Bu denklemi seçeneklerle karşılaştırdığımızda, A seçeneği ile aynı olduğunu görürüz.
Cevap A seçeneğidir.
