Bu soruda, benzer üçgenlerin alanları arasındaki ilişkiyi kullanacağız. Benzer üçgenler konusu geometri derslerinin temel taşlarından biridir ve bu ilişkiyi anlamak birçok problemi çözmenize yardımcı olacaktır. Hadi adım adım bu soruyu çözelim:
- Adım 1: Benzerlik Oranını Anlayalım
- Soruda bize iki benzer üçgenin benzerlik oranı $2:5$ olarak verilmiş. Bu, küçük üçgenin bir kenarının uzunluğunun, büyük üçgenin karşılık gelen kenarının uzunluğuna oranının $ rac{2}{5}$ olduğu anlamına gelir. Matematiksel olarak benzerlik oranını $k$ ile gösterirsek, $k = rac{2}{5}$ diyebiliriz.
- Adım 2: Alanlar Arasındaki İlişkiyi Hatırlayalım
- Benzer üçgenlerde, alanların oranı benzerlik oranının karesine eşittir. Yani, eğer iki benzer üçgenin benzerlik oranı $k$ ise, bu üçgenlerin alanları oranı $k^2$ olacaktır.
- Küçük üçgenin alanına $A_{küçük}$ ve büyük üçgenin alanına $A_{büyük}$ dersek, bu ilişkiyi şu şekilde yazabiliriz:
$ rac{A_{küçük}}{A_{büyük}} = k^2$
- Adım 3: Verilenleri Yerine Koyalım
- Bize küçük üçgenin alanı $12 \text{ cm}^2$ olarak verilmiş. Benzerlik oranı ise $k = rac{2}{5}$ idi. Şimdi bu değerleri formülümüzde yerine yazalım:
$ rac{12}{A_{büyük}} = \left( rac{2}{5}\right)^2$
- Adım 4: Denklemi Çözelim
- Öncelikle benzerlik oranının karesini hesaplayalım:
$\left( rac{2}{5}\right)^2 = rac{2^2}{5^2} = rac{4}{25}$
- Şimdi denklemimiz şu hale geldi:
$ rac{12}{A_{büyük}} = rac{4}{25}$
- Bu denklemi çözmek için içler dışlar çarpımı yapabiliriz:
$4 \times A_{büyük} = 12 \times 25$
- Şimdi $A_{büyük}$'ü yalnız bırakalım:
$A_{büyük} = rac{12 \times 25}{4}$
- Sadeleştirme yapalım: $12$ ve $4$ sadeleşir, $12/4 = 3$ olur.
$A_{büyük} = 3 \times 25$
- Sonuç olarak:
$A_{büyük} = 75 \text{ cm}^2$
Buna göre, büyük üçgenin alanı $75 \text{ cm}^2$'dir.
Cevap D seçeneğidir.
