12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 8. Senaryo Test 1

Fonksiyon $g(x) = \cos(x^3 - 2x)$ olarak veriliyor. Buna göre, $g'(x)$ aşağıdakilerden hangisidir?

A) $\sin(x^3 - 2x) \cdot (3x^2 - 2)$

B) $-\sin(x^3 - 2x) \cdot (3x^2 - 2)$

C) $-\sin(x^3 - 2x) \cdot (3x^2)$

D) $\sin(x^3 - 2x) \cdot (3x^2 - 2x)$

E) $\cos(x^3 - 2x) \cdot (3x^2 - 2)$

Bu soruyu çözmek için zincir kuralını (türev alma kuralı) kullanmamız gerekiyor. Zincir kuralı, bileşke fonksiyonların türevini alırken kullanılır. Fonksiyonumuz $g(x) = \cos(x^3 - 2x)$ şeklindedir.

• Öncelikle, fonksiyonu bir bileşke fonksiyon olarak tanımlayalım. İç fonksiyon ve dış fonksiyonu belirleyelim:

  • Dış fonksiyon: $f(u) = \cos(u)$
  • İç fonksiyon: $u = h(x) = x^3 - 2x$

• Şimdi, hem dış fonksiyonun $u$'ya göre türevini hem de iç fonksiyonun $x$'e göre türevini bulalım:

  • Dış fonksiyonun türevi: $f'(u) = \frac{d}{du}(\cos(u)) = -\sin(u)$
  • İç fonksiyonun türevi: $h'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 2x)$

• İç fonksiyonun türevini hesaplayalım:

  • $h'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(2x)$
  • $h'(x) = 3x^{3-1} - 2x^{1-1}$
  • $h'(x) = 3x^2 - 2 \cdot 1$
  • $h'(x) = 3x^2 - 2$

• Zincir kuralını uygulayalım. Zincir kuralı $\frac{d}{dx}f(h(x)) = f'(h(x)) \cdot h'(x)$ şeklindedir. Yani, dış fonksiyonun türevinde $u$ yerine iç fonksiyonu yazıp, bunu iç fonksiyonun türevi ile çarparız:

  • $g'(x) = f'(h(x)) \cdot h'(x)$
  • $g'(x) = -\sin(u) \cdot (3x^2 - 2)$

• Son olarak, $u$ yerine orijinal iç fonksiyonu, yani $x^3 - 2x$ ifadesini yazalım:

  • $g'(x) = -\sin(x^3 - 2x) \cdot (3x^2 - 2)$

Bu sonuç, seçenekler arasında B seçeneği ile aynıdır.

Cevap B seçeneğidir.