12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 8. Senaryo Test 1

Türev fonksiyonu $f'(x)$'in grafiği, $x = -1$ ve $x = 4$ noktalarında $x$-eksenini kesen ve bu noktalar arasında pozitif değerler alan, kolları aşağı doğru bir parabol şeklindedir. Buna göre, $f(x)$ fonksiyonunun azalan olduğu aralık aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(-1, 4)$

B) $(-\infty, -1) \cup (4, \infty)$

C) $(-\infty, 0)$

D) $(0, \infty)$

E) $(-1, \infty)$

• Merhaba sevgili öğrenciler! Bu soruda, bir fonksiyonun türevinin grafiği hakkında bilgi verilmiş ve bizden fonksiyonun kendisinin azalan olduğu aralığı bulmamız isteniyor. Bu tür soruları çözerken türev ve fonksiyon arasındaki ilişkiyi çok iyi anlamamız gerekiyor.
• Öncelikle, bize verilen bilgileri dikkatlice inceleyelim:
  • Türev fonksiyonu $f'(x)$'in grafiği bir paraboldür.
  • Bu parabolün kolları aşağı doğrudur.
  • $x$-eksenini $x = -1$ ve $x = 4$ noktalarında kesmektedir. Bu, $f'(-1) = 0$ ve $f'(4) = 0$ olduğu anlamına gelir. Bu noktalar, $f(x)$ fonksiyonunun yerel ekstremum noktalarının $x$ koordinatları olabilir.
  • $x = -1$ ve $x = 4$ noktaları arasında $f'(x)$ pozitif değerler almaktadır. Yani, $-1 < x < 4$ için $f'(x) > 0$'dır.
• Şimdi, $f(x)$ fonksiyonunun azalan olduğu aralığı bulmak için temel kuralımızı hatırlayalım: Bir fonksiyon $f(x)$, türevi $f'(x)$ negatif olduğunda azalandır. Yani, $f(x)$'in azalan olduğu aralıkları bulmak için $f'(x) < 0$ eşitsizliğini sağlayan $x$ değerlerini bulmalıyız.
• Verilen bilgilere göre $f'(x)$'in işaretini belirleyelim:
  • Kolları aşağı doğru olan bir parabol, $x$-eksenini $x = -1$ ve $x = 4$ noktalarında kesiyorsa, bu iki kök arasında (yani $-1 < x < 4$ aralığında) parabol $x$-ekseninin üstünde kalır ve pozitif değerler alır. Soruda da bu bilgi zaten verilmiş ($f'(x) > 0$).
  • Bu köklerin dışında kalan aralıklarda ise (yani $x < -1$ ve $x > 4$ olduğunda) parabol $x$-ekseninin altında kalır ve negatif değerler alır.
• Bu durumda, $f'(x)$'in işaret tablosunu zihnimizde canlandırabiliriz veya çizebiliriz:
  • $x < -1$ için: $f'(x) < 0$
  • $-1 < x < 4$ için: $f'(x) > 0$
  • $x > 4$ için: $f'(x) < 0$
• Biz $f(x)$'in azalan olduğu aralıkları aradığımız için, $f'(x) < 0$ olduğu aralıklara bakmalıyız. Yukarıdaki analize göre, $f'(x)$'in negatif olduğu aralıklar $x < -1$ ve $x > 4$'tür.
• Bu aralıkları birleşim sembolüyle ifade edersek: $(-\infty, -1) \cup (4, \infty)$.
• Şimdi seçeneklerimize bakalım ve bulduğumuz aralıkla eşleşeni işaretleyelim.

Cevap B seçeneğidir.