12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 7. senaryo meb Test 1

$y = x^2$ parabolü üzerinde, $A(3, 0)$ noktasına en yakın olan noktanın koordinatları aşağıdakilerden hangisidir?

A) $(1, 1)$

B) $(2, 4)$

C) $(3, 9)$

D) $(\frac{3}{2}, \frac{9}{4})$

E) $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$

Parabol üzerindeki bir noktadan, verilen noktaya olan uzaklığı minimize etmemiz gerekiyor. Adım adım ilerleyelim:

• Parabol Üzerindeki Genel Noktayı Tanımlama:

  $y = x^2$ parabolü üzerinde herhangi bir $P$ noktasının koordinatları $(x, y)$ olsun. Parabol denklemini kullanarak bu noktayı $(x, x^2)$ şeklinde ifade edebiliriz.

• Uzaklık Formülünü Kullanma:

  Parabol üzerindeki $P(x, x^2)$ noktası ile verilen $A(3, 0)$ noktası arasındaki uzaklığı $d$ ile gösterelim. İki nokta arasındaki uzaklık formülü $d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$ olduğundan:

  $d = \sqrt{(x - 3)^2 + (x^2 - 0)^2}$

  $d = \sqrt{(x - 3)^2 + x^4}$

• Uzaklığın Karesini Minimize Etme:

  Uzaklığı minimize etmek, uzaklığın karesini minimize etmekle aynıdır. Bu, karekökten kurtularak türev almayı kolaylaştırır. Uzaklığın karesini $f(x)$ ile gösterelim:

  $f(x) = d^2 = (x - 3)^2 + x^4$

• Türev Alarak Kritik Noktayı Bulma:

  Bir fonksiyonun minimum veya maksimum değerini bulmak için türevini alıp sıfıra eşitlememiz gerekir:

  $f'(x) = \frac{d}{dx}((x - 3)^2 + x^4)$

  $f'(x) = 2(x - 3) \cdot 1 + 4x^3$

  $f'(x) = 2x - 6 + 4x^3$

  Şimdi $f'(x) = 0$ denklemini çözelim:

  $4x^3 + 2x - 6 = 0$

  Denklemi 2 ile sadeleştirelim:

  $2x^3 + x - 3 = 0$

• Kübik Denklemi Çözme:

  Bu kübik denklemin köklerini bulmak için deneme-yanılma yöntemini kullanabiliriz. $x=1$ değerini deneyelim:

  $2(1)^3 + (1) - 3 = 2 + 1 - 3 = 0$

  Görüyoruz ki $x = 1$ denklemin bir köküdür. Bu, $(x - 1)$'in denklemin bir çarpanı olduğu anlamına gelir. Polinom bölmesi yaparak diğer çarpanları bulabiliriz:

  $(2x^3 + x - 3) \div (x - 1) = 2x^2 + 2x + 3$

  Böylece denklem $(x - 1)(2x^2 + 2x + 3) = 0$ şeklini alır.

  Şimdi $2x^2 + 2x + 3 = 0$ kuadratik denkleminin köklerini inceleyelim. Diskriminant $\Delta = b^2 - 4ac$ formülünü kullanalım:

  $\Delta = (2)^2 - 4(2)(3) = 4 - 24 = -20$

  Diskriminant negatif olduğu için ($ \Delta < 0 $), bu kuadratik denklemin reel kökleri yoktur. Dolayısıyla, $2x^3 + x - 3 = 0$ denkleminin tek reel kökü $x = 1$'dir.

• Minimum Noktasını Doğrulama (İkinci Türev Testi):

  Bulduğumuz $x=1$ değerinin bir minimuma karşılık geldiğini doğrulamak için ikinci türev testini kullanabiliriz:

  $f''(x) = \frac{d}{dx}(4x^3 + 2x - 6) = 12x^2 + 2$

  $x = 1$ için $f''(1) = 12(1)^2 + 2 = 12 + 2 = 14$.

  $f''(1) > 0$ olduğu için $x = 1$ değeri bir yerel minimuma karşılık gelir. Tek kritik nokta olduğu için bu aynı zamanda global minimumdur.

• Noktanın Koordinatlarını Bulma:

  Minimum uzaklığı veren $x$ değeri $1$ olduğuna göre, parabol üzerindeki noktanın $y$ koordinatını bulmak için $y = x^2$ denkleminde $x = 1$ yazalım:

  $y = (1)^2 = 1$

  Böylece, parabol üzerinde $A(3, 0)$ noktasına en yakın olan noktanın koordinatları $(1, 1)$ olarak bulunur.

Cevap A seçeneğidir.