12. sınıf matematik 2. dönem 1. yazılı 6. senaryo meb Test 2

$f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ fonksiyonunun grafiği ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

A) $y$-eksenini $(0, -8)$ noktasında keser.

B) $x$-eksenini $(2, 0)$ noktasında keser.

C) $f'(x) = 3(x-2)^2$'dir.

D) $x=2$ noktasında yerel ekstremumu vardır.

E) Fonksiyon daima artandır.

• Öncelikle verilen fonksiyonu inceleyelim: $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$. Bu ifade, $(x-a)^3$ açılımına benzemektedir. $(x-a)^3 = x^3 - 3ax^2 + 3a^2x - a^3$. Eğer $a=2$ alırsak, $(x-2)^3 = x^3 - 3(2)x^2 + 3(2)^2x - 2^3 = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$ elde ederiz. Yani, fonksiyonumuz aslında $f(x) = (x-2)^3$ şeklinde yazılabilir. Bu bilgi, sonraki adımlarda işimizi kolaylaştıracaktır.
• A) $y$-eksenini $(0, -8)$ noktasında keser.

  Bir fonksiyonun $y$-eksenini kestiği noktayı bulmak için $x=0$ değerini fonksiyonda yerine koyarız:

  $f(0) = (0)^3 - 6(0)^2 + 12(0) - 8 = -8$.

  Dolayısıyla, fonksiyon $y$-eksenini $(0, -8)$ noktasında keser. Bu ifade doğrudur.

• B) $x$-eksenini $(2, 0)$ noktasında keser.

  Bir fonksiyonun $x$-eksenini kestiği noktayı bulmak için $f(x)=0$ denklemini çözeriz:

  $f(x) = (x-2)^3 = 0$.

  Bu denklemi çözdüğümüzde $x-2=0 \implies x=2$ buluruz. Dolayısıyla, fonksiyon $x$-eksenini $(2, 0)$ noktasında keser. Bu ifade doğrudur.

• C) $f'(x) = 3(x-2)^2$'dir.

  Fonksiyonun türevini alalım:

  $f(x) = x^3 - 6x^2 + 12x - 8$. $f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3) - \frac{d}{dx}(6x^2) + \frac{d}{dx}(12x) - \frac{d}{dx}(8)$ $f'(x) = 3x^2 - 12x + 12$.

  Bu ifadeyi çarpanlarına ayıralım:

  $f'(x) = 3(x^2 - 4x + 4)$.

  Parantez içindeki ifade bir tam karedir: $(x-2)^2$.

  Dolayısıyla, $f'(x) = 3(x-2)^2$'dir. Bu ifade doğrudur.

• D) $x=2$ noktasında yerel ekstremumu vardır.

  Bir fonksiyonun yerel ekstremumu (yerel maksimum veya yerel minimum) olması için, türevinin o noktada sıfır olması ve türevin işaretinin o nokta etrafında değişmesi gerekir.

  C seçeneğinde bulduğumuz türev $f'(x) = 3(x-2)^2$'dir. $x=2$ noktasında türevin değerini hesaplayalım:

  $f'(2) = 3(2-2)^2 = 3(0)^2 = 0$.

  Türev sıfır olduğu için bir kritik nokta vardır. Şimdi türevin işaretini $x=2$ etrafında inceleyelim:

  • $x < 2$ için (örneğin $x=1$): $f'(1) = 3(1-2)^2 = 3(-1)^2 = 3 > 0$.
  • $x > 2$ için (örneğin $x=3$): $f'(3) = 3(3-2)^2 = 3(1)^2 = 3 > 0$.

  Görüldüğü gibi, $x=2$ noktasının hem solunda hem de sağında türev pozitiftir. Türevin işareti değişmediği için $x=2$ noktasında bir yerel ekstremum yoktur. Bu nokta bir büküm noktasıdır (eğrinin teğetinin yatay olduğu bir büküm noktası). Bu ifade yanlıştır.

• E) Fonksiyon daima artandır.

  Bir fonksiyonun daima artan olması için türevinin her zaman pozitif veya sıfır olması ve sıfır olduğu noktaların izole olması gerekir.

  Türevimiz $f'(x) = 3(x-2)^2$'dir. Herhangi bir gerçek $x$ değeri için $(x-2)^2 \ge 0$ olduğundan, $f'(x) = 3(x-2)^2 \ge 0$ olacaktır. Türev sadece $x=2$ noktasında sıfır olur, diğer tüm noktalarda pozitiftir. Bu durum, fonksiyonun daima artan olduğunu gösterir. Bu ifade doğrudur.

Yukarıdaki analizlere göre, yanlış olan ifade D seçeneğidir.

Cevap D seçeneğidir.