8. Sınıf Matematik 2. Dönem 1. Yazılı Ortak Sınav Test 5

$\frac{x-2}{3} + \frac{x+1}{2} = 4$ denklemini sağlayan $x$ değeri kaçtır?

A) $5$

B) $7$

C) $9$

D) $11$

Bu soruda, kesirli ifadeler içeren bir denklemi çözeceğiz. Amacımız, denklemi sağlayan $x$ değerini bulmaktır.

• Adım 1: Denklemi inceleyelim ve paydaları eşitleyelim.

  Denklemimiz: $\frac{x-2}{3} + \frac{x+1}{2} = 4$

  Kesirli ifadelerle işlem yapmayı kolaylaştırmak için, paydaları eşitlememiz gerekiyor. Paydalar $3$ ve $2$. Bu sayıların en küçük ortak katı (EKOK) $6$'dır.

  Bu yüzden, ilk kesri $2$ ile, ikinci kesri $3$ ile genişletelim. Sağdaki $4$ sayısının paydası $1$ olduğu için onu da $6$ ile genişleteceğiz.

  Yani, her terimi paydası $6$ olacak şekilde yeniden yazalım:

  $\frac{2 \cdot (x-2)}{2 \cdot 3} + \frac{3 \cdot (x+1)}{3 \cdot 2} = \frac{4 \cdot 6}{1 \cdot 6}$

  Bu da şu anlama gelir:

  $\frac{2(x-2)}{6} + \frac{3(x+1)}{6} = \frac{24}{6}$

• Adım 2: Paydaları ortadan kaldıralım.

  Artık tüm terimlerin paydası aynı ($6$). Denklemin her iki tarafını $6$ ile çarparak paydaları yok edebiliriz. Bu, denklemi daha basit bir hale getirecektir:

  $6 \cdot \left( \frac{2(x-2)}{6} + \frac{3(x+1)}{6} \right) = 6 \cdot \left( \frac{24}{6} \right)$

  $2(x-2) + 3(x+1) = 24$

• Adım 3: Parantezleri açalım ve denklemi düzenleyelim.

  Şimdi parantez içindeki ifadeleri dağıtarak çarpma işlemlerini yapalım:

  $2 \cdot x - 2 \cdot 2 + 3 \cdot x + 3 \cdot 1 = 24$

  $2x - 4 + 3x + 3 = 24$

• Adım 4: Benzer terimleri birleştirelim.

  $x$'li terimleri kendi aralarında, sabit sayıları kendi aralarında toplayalım:

  $(2x + 3x) + (-4 + 3) = 24$

  $5x - 1 = 24$

• Adım 5: $x$ değerini yalnız bırakalım.

  $x$'i yalnız bırakmak için, $-1$ sayısını denklemin sağ tarafına, işaretini değiştirerek atalım:

  $5x = 24 + 1$

  $5x = 25$

  Şimdi her iki tarafı $5$'e bölelim:

  $\frac{5x}{5} = \frac{25}{5}$

  $x = 5$

• Adım 6: Çözümümüzü kontrol edelim (isteğe bağlı ama faydalı).

  Bulduğumuz $x=5$ değerini orijinal denklemde yerine koyarak doğru olup olmadığını kontrol edebiliriz:

  $\frac{5-2}{3} + \frac{5+1}{2} = 4$

  $\frac{3}{3} + \frac{6}{2} = 4$

  $1 + 3 = 4$

  $4 = 4$

  Denklem sağlandığına göre, $x=5$ doğru cevaptır.

Cevap A seçeneğidir.