Aşağıda verilen şekil örüntüsünün ilk üç adımı gösterilmiştir.
1. Adım: $\bullet$
2. Adım: $\bullet \bullet$
$\phantom{aaaaaa}\bullet$
3. Adım: $\bullet \bullet \bullet$
$\phantom{aaaaaa}\bullet \bullet$
$\phantom{aaaaaa}\bullet$
Bu örüntüdeki $n$. adımdaki nokta sayısını veren kural aşağıdakilerden hangisidir?
A) $n^2$
B) $n + 2$
C) $2n - 1$
D) $\frac{n \cdot (n+1)}{2}$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu tür şekil örüntüsü sorularında, ilk yapmamız gereken her adımda kaç tane nokta olduğunu dikkatlice saymak ve bu sayıları bir dizi olarak yazmaktır. Ardından, bu sayı dizisi ile seçeneklerde verilen kurallar arasındaki ilişkiyi bulmaya çalışacağız.
- Adım 1: Her Adımdaki Nokta Sayısını Belirleyelim
- 1. Adım: Şekilde sadece 1 tane nokta var.
- 2. Adım: Şekilde üstte 2, altta 1 olmak üzere toplam 3 tane nokta var.
- 3. Adım: Şekilde üstte 3, ortada 2, altta 1 olmak üzere toplam 6 tane nokta var.
- Buna göre, örüntünün nokta sayıları dizisi şu şekildedir: $1, 3, 6, \dots$
- Adım 2: Nokta Sayılarındaki Değişimi İnceleyelim
- 1. adımdan 2. adıma geçerken nokta sayısı $3 - 1 = 2$ artmış.
- 2. adımdan 3. adıma geçerken nokta sayısı $6 - 3 = 3$ artmış.
- Bu artış miktarları ($+2, +3, \dots$) da düzenli bir şekilde artıyor. Bu tür diziler "üçgensel sayılar" olarak bilinir. Şimdi seçeneklerdeki kuralları tek tek deneyerek hangi kuralın bu sayıları verdiğini bulalım.
- Adım 3: Seçenekleri Kontrol Edelim
- Her bir kuralda $n$ yerine adım numarasını ($1, 2, 3$) koyarak çıkan sonuçları, bulduğumuz nokta sayıları ($1, 3, 6$) ile karşılaştıralım.
- A) $n^2$
- $n=1 \implies 1^2 = 1$ (Doğru)
- $n=2 \implies 2^2 = 4$ (Yanlış, 2. adımda 3 nokta olmalıydı)
- Bu kural doğru değil.
- B) $n + 2$
- $n=1 \implies 1 + 2 = 3$ (Yanlış, 1. adımda 1 nokta olmalıydı)
- Bu kural doğru değil.
- C) $2n - 1$
- $n=1 \implies 2(1) - 1 = 1$ (Doğru)
- $n=2 \implies 2(2) - 1 = 3$ (Doğru)
- $n=3 \implies 2(3) - 1 = 5$ (Yanlış, 3. adımda 6 nokta olmalıydı)
- Bu kural doğru değil.
- D) $\frac{n \cdot (n+1)}{2}$
- $n=1 \implies \frac{1 \cdot (1+1)}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$ (Doğru)
- $n=2 \implies \frac{2 \cdot (2+1)}{2} = \frac{2 \cdot 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$ (Doğru)
- $n=3 \implies \frac{3 \cdot (3+1)}{2} = \frac{3 \cdot 4}{2} = \frac{12}{2} = 6$ (Doğru)
- Bu kural, örüntünün ilk üç adımındaki nokta sayılarını tam olarak vermektedir. Bu nedenle doğru kural budur.
Cevap D seçeneğidir.
