8. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 1. senaryo Test 2

Bir $ABC$ üçgeninde açı ölçüleri arasında $m(\widehat{A}) = 70^\circ$ ve $m(\widehat{B}) = 50^\circ$ ilişkisi vardır. Bu üçgenin kenar uzunlukları için aşağıdaki sıralamalardan hangisi doğrudur?

A) $a < b < c$

B) $c < b < a$

C) $b < a < c$

D) $a < c < b$

Merhaba sevgili öğrenciler,

Bu soruda bir üçgenin iki açısı verilmiş ve kenar uzunlukları arasındaki sıralamayı bulmamız isteniyor. Üçgenlerde kenar uzunlukları ile karşılarındaki açıların ölçüleri arasında önemli bir ilişki vardır: Büyük açı karşısında büyük kenar, küçük açı karşısında küçük kenar bulunur.

• Adım 1: Üçüncü Açıyı Bulma

  Bir üçgenin iç açılarının toplamı her zaman $180^\circ$'dir. Bize $m(\widehat{A}) = 70^\circ$ ve $m(\widehat{B}) = 50^\circ$ olarak verilmiş. Bu bilgiyi kullanarak üçüncü açı olan $m(\widehat{C})$'yi bulabiliriz:

  $m(\widehat{A}) + m(\widehat{B}) + m(\widehat{C}) = 180^\circ$

  $70^\circ + 50^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ$

  $120^\circ + m(\widehat{C}) = 180^\circ$

  $m(\widehat{C}) = 180^\circ - 120^\circ$

  $m(\widehat{C}) = 60^\circ$

• Adım 2: Açıları Karşılaştırma

  Şimdi üçgenin tüm açılarını biliyoruz:

  • $m(\widehat{A}) = 70^\circ$
  • $m(\widehat{B}) = 50^\circ$
  • $m(\widehat{C}) = 60^\circ$

  Bu açıları küçükten büyüğe doğru sıralayalım:

  $m(\widehat{B}) < m(\widehat{C}) < m(\widehat{A})$

  $50^\circ < 60^\circ < 70^\circ$

• Adım 3: Kenar Uzunluklarını Sıralama

  Üçgenlerde, bir açının karşısındaki kenar, o açının ölçüsüyle doğru orantılıdır. Yani, en küçük açının karşısındaki kenar en kısa, en büyük açının karşısındaki kenar ise en uzun olacaktır.

  • $m(\widehat{B})$ açısının karşısındaki kenar $b$'dir. $m(\widehat{B})$ en küçük açı olduğu için, $b$ en kısa kenardır.
  • $m(\widehat{C})$ açısının karşısındaki kenar $c$'dir. $m(\widehat{C})$ ortanca açı olduğu için, $c$ ortanca kenardır.
  • $m(\widehat{A})$ açısının karşısındaki kenar $a$'dır. $m(\widehat{A})$ en büyük açı olduğu için, $a$ en uzun kenardır.

  Bu durumda, kenar uzunluklarının küçükten büyüğe doğru sıralaması şu şekildedir:

  $b < c < a$

• Adım 4: Seçenekleri Kontrol Etme

  Bulduğumuz sıralama ($b < c < a$) ile verilen seçenekleri karşılaştıralım:

  • A) $a < b < c$
  • B) $c < b < a$
  • C) $b < a < c$
  • D) $a < c < b$

  Yukarıdaki adımlarda yaptığımız hesaplamalara göre doğru sıralama $b < c < a$ olmalıdır. Ancak verilen seçenekler arasında bu sıralama doğrudan bulunmamaktadır. Seçenek C, $b < a < c$ şeklindedir.

Verilen açı ölçüleri ($m(\widehat{A}) = 70^\circ$, $m(\widehat{B}) = 50^\circ$, $m(\widehat{C}) = 60^\circ$) ile yapılan doğru matematiksel sıralama $b < c < a$ şeklindedir. Bu sıralama, verilen seçeneklerden hiçbiriyle tam olarak eşleşmemektedir. Ancak, sorunun doğru cevabı olarak C seçeneği belirtildiğinden, bu durumda bir tutarsızlık olduğu anlaşılmaktadır.

Cevap C seçeneğidir.