8. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 3. senaryo Test 3

Uzunluğu $13$ metre olan bir merdiven, bir duvara dayandığında merdivenin ayağı duvardan $5$ metre uzaktadır. Buna göre merdivenin duvara dayandığı noktanın yerden yüksekliği kaç metredir?

A) $8$

B) $10$

C) $11$

D) $12$

Bu problem, bir merdivenin duvara dayandığı durumu anlattığı için, geometri ve özellikle Pisagor Teoremi ile çözülebilecek tipik bir örnektir. Merdiven, duvar ve yer düzlemi bir araya geldiğinde bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgende:

• Merdivenin uzunluğu, dik üçgenin hipotenüsü (en uzun kenarı) olur.
• Merdivenin ayağının duvardan uzaklığı, dik üçgenin bir dik kenarı olur.
• Merdivenin duvara dayandığı noktanın yerden yüksekliği ise dik üçgenin diğer dik kenarı olur.

Şimdi bu bilgileri kullanarak adımları takip edelim:

• Adım 1: Problemi Anlayalım ve Şekillendirelim.

  Yukarıda bahsettiğimiz gibi, merdiven, duvar ve zemin bir dik üçgen oluşturur. Bu üçgende:

  • Merdivenin uzunluğu (hipotenüs) $c = 13$ metredir.
  • Merdivenin ayağının duvardan uzaklığı (bir dik kenar) $a = 5$ metredir.
  • Merdivenin duvara dayandığı noktanın yerden yüksekliği (diğer dik kenar) $h$ değerini bulmamız gerekiyor.
• Adım 2: Pisagor Teoremini Hatırlayalım.

  Pisagor Teoremi, bir dik üçgende dik kenarların karelerinin toplamının hipotenüsün karesine eşit olduğunu söyler. Matematiksel olarak ifade edersek: $a^2 + b^2 = c^2$ (burada $a$ ve $b$ dik kenarlar, $c$ ise hipotenüstür).

• Adım 3: Bilgileri Teoreme Uygulayalım.

  Bizim problemimizde $a = 5$ metre, $c = 13$ metre ve bulmak istediğimiz yükseklik $h$ (diğer dik kenar) yerine geçiyor. Pisagor Teoremini kullanarak denklemi kuralım:

  $5^2 + h^2 = 13^2$

• Adım 4: Denklemi Çözelim.

  Şimdi denklemi adım adım çözerek $h$ değerini bulalım:

  • Önce bilinen kareleri hesaplayalım:

  $25 + h^2 = 169$

  • $h^2$ değerini yalnız bırakmak için $25$'i eşitliğin diğer tarafına atalım (çıkarma işlemi olarak geçer):

  $h^2 = 169 - 25$

  • Çıkarma işlemini yapalım:

  $h^2 = 144$

  • $h$ değerini bulmak için her iki tarafın karekökünü alalım:

  $h = \sqrt{144}$

  • $144$'ün karekökü $12$'dir:

  $h = 12$ metre

Buna göre, merdivenin duvara dayandığı noktanın yerden yüksekliği $12$ metredir.

Cevap D seçeneğidir.