Bir dik üçgenin kenar uzunlukları $3$, $4$ ve $5$ birimdir. Bu üçgene benzer olan başka bir dik üçgenin en kısa kenar uzunluğu $6$ birim olduğuna göre, bu ikinci üçgenin çevresi kaç birimdir?
A) $18$
B) $24$
C) $30$
D) $36$
E) $40$
Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, benzer üçgenlerin özelliklerini kullanarak bir üçgenin çevresini bulacağız. Adım adım ilerleyelim:
-
1. İlk Üçgenin Kenarlarını ve Özelliklerini Belirleyelim:
Bize verilen ilk dik üçgenin kenar uzunlukları $3$, $4$ ve $5$ birimdir. Bu, özel bir dik üçgendir (Pisagor üçlüsü $3^2 + 4^2 = 5^2$).
- Bu üçgenin en kısa kenarı $3$ birimdir.
- Ortanca kenarı $4$ birimdir.
- En uzun kenarı (hipotenüs) $5$ birimdir.
-
2. Benzer Üçgen Kavramını Anlayalım:
İki üçgenin benzer olması demek, açılarının aynı olması ve kenar uzunluklarının birbirine orantılı olması demektir. Bu orana "benzerlik oranı" veya "ölçek faktörü" denir.
-
3. Benzerlik Oranını (Ölçek Faktörünü) Bulalım:
İkinci üçgenin ilk üçgene benzer olduğu ve en kısa kenar uzunluğunun $6$ birim olduğu belirtilmiş.
- İlk üçgenin en kısa kenarı $3$ birimdir.
- İkinci üçgenin en kısa kenarı $6$ birimdir.
- Benzerlik oranı ($k$) = $\frac{\text{İkinci üçgenin en kısa kenarı}}{\text{İlk üçgenin en kısa kenarı}} = \frac{6}{3} = 2$.
- Bu, ikinci üçgenin her bir kenarının, ilk üçgenin karşılık gelen kenarının $2$ katı uzunluğunda olduğu anlamına gelir.
-
4. İkinci Üçgenin Kenar Uzunluklarını Hesaplayalım:
Şimdi ilk üçgenin kenarlarını benzerlik oranıyla çarparak ikinci üçgenin kenarlarını bulabiliriz:
- İlk üçgenin kenarları: $3$, $4$, $5$.
- İkinci üçgenin kenarları:
- En kısa kenar: $3 \times 2 = 6$ birim (Soruda verilenle uyumlu).
- Ortanca kenar: $4 \times 2 = 8$ birim.
- En uzun kenar (hipotenüs): $5 \times 2 = 10$ birim.
-
5. İkinci Üçgenin Çevresini Hesaplayalım:
Bir üçgenin çevresi, tüm kenar uzunluklarının toplamıdır.
- İkinci üçgenin kenarları $6$, $8$ ve $10$ birimdir.
- Çevre = $6 + 8 + 10 = 24$ birim.
Böylece, benzerlik oranını kullanarak ikinci üçgenin kenarlarını bulduk ve çevresini hesapladık.
Cevap B seçeneğidir.
