9. sınıf matematik 2. dönem 2. yazılı 5. senaryo meb Test 3

$p(x)$: "$x$ bir asal sayıdır." önermesi veriliyor.
Buna göre, aşağıdaki niceleyicili önermelerden hangisinin doğruluk değeri $0$ dır?
(Evrensel küme $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ olarak alınmıştır.)

A) $\exists x \in E, p(x)$

B) $\forall x \in E, p(x)$

C) $\exists x \in E, \sim p(x)$

D) $\exists x \in E, (x \text{ çift sayıdır } \land p(x))$

E) $\forall x \in E, (x \text{ tek sayıdır } \lor \sim p(x))$

Öncelikle, verilen $p(x)$: "$x$ bir asal sayıdır." önermesinin evrensel küme $E = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ elemanları için doğruluk değerlerini belirleyelim.

• Bir asal sayı, $1$'den büyük olan ve $1$ ile kendisinden başka pozitif böleni olmayan doğal sayıdır.
• $x=1$: $1$ asal sayı değildir. Dolayısıyla $p(1)$ önermesinin doğruluk değeri $0$'dır.
• $x=2$: $2$ asal sayıdır. Dolayısıyla $p(2)$ önermesinin doğruluk değeri $1$'dir.
• $x=3$: $3$ asal sayıdır. Dolayısıyla $p(3)$ önermesinin doğruluk değeri $1$'dir.
• $x=4$: $4$ asal sayı değildir ($4 = 2 \times 2$). Dolayısıyla $p(4)$ önermesinin doğruluk değeri $0$'dır.
• $x=5$: $5$ asal sayıdır. Dolayısıyla $p(5)$ önermesinin doğruluk değeri $1$'dir.
• $x=6$: $6$ asal sayı değildir ($6 = 2 \times 3$). Dolayısıyla $p(6)$ önermesinin doğruluk değeri $0$'dır.

Şimdi her bir niceleyicili önermenin doğruluk değerini inceleyelim:

• A) $\exists x \in E, p(x)$

  Bu önerme, "Evrensel küme $E$'de en az bir $x$ elemanı vardır ki $x$ bir asal sayıdır." anlamına gelir. $E$ kümesinde $2, 3, 5$ gibi asal sayılar bulunmaktadır. Örneğin, $x=2$ için $p(2)$ doğru ($1$) olduğu için bu önerme doğrudur.

  Doğruluk değeri: $1$.

• B) $\forall x \in E, p(x)$

  Bu önerme, "Evrensel küme $E$'deki her $x$ elemanı için $x$ bir asal sayıdır." anlamına gelir. Bu önermenin doğru olması için $E$ kümesindeki tüm elemanların asal olması gerekir. Ancak $x=1$ için $p(1)$ yanlış ($0$) olduğu için, bu önerme yanlıştır. (Aynı şekilde $x=4$ ve $x=6$ için de $p(x)$ yanlıştır.)

  Doğruluk değeri: $0$.

• C) $\exists x \in E, \sim p(x)$

  Bu önerme, "Evrensel küme $E$'de en az bir $x$ elemanı vardır ki $x$ bir asal sayı değildir." anlamına gelir. $E$ kümesinde $1, 4, 6$ gibi asal olmayan sayılar bulunmaktadır. Örneğin, $x=1$ için $p(1)$ yanlış ($0$) olduğu için $\sim p(1)$ doğru ($1$) olur. Bu nedenle önerme doğrudur.

  Doğruluk değeri: $1$.

• D) $\exists x \in E, (x \text{ çift sayıdır } \land p(x))$

  Bu önerme, "Evrensel küme $E$'de en az bir $x$ elemanı vardır ki $x$ hem çift sayıdır hem de asal sayıdır." anlamına gelir. $x=2$ elemanını inceleyelim: $2$ bir çift sayıdır (doğru) ve $p(2)$ ($2$ bir asal sayıdır) doğru olduğu için, $(x \text{ çift sayıdır } \land p(x))$ önermesi $x=2$ için doğru ($1 \land 1 \equiv 1$) olur. Bu koşulu sağlayan en az bir eleman bulunduğu için önerme doğrudur.

  Doğruluk değeri: $1$.

• E) $\forall x \in E, (x \text{ tek sayıdır } \lor \sim p(x))$

  Bu önerme, "Evrensel küme $E$'deki her $x$ elemanı için $x$ tek sayıdır veya $x$ asal sayı değildir." anlamına gelir. Bu önermenin doğru olması için $E$ kümesindeki her eleman için $(x \text{ tek sayıdır } \lor \sim p(x))$ ifadesinin doğru olması gerekir. $x=2$ elemanını inceleyelim: "$2$ tek sayıdır" ifadesi yanlıştır ($0$). "$\sim p(2)$" ifadesi "$2$ asal sayı değildir" anlamına gelir. Ancak $2$ bir asal sayı olduğu için $p(2)$ doğru ($1$), dolayısıyla $\sim p(2)$ yanlıştır ($0$). Bu durumda, $x=2$ için $(x \text{ tek sayıdır } \lor \sim p(x))$ ifadesi $(0 \lor 0)$ olur ki bu da yanlıştır ($0$). $E$ kümesinde en az bir eleman ($x=2$) için önerme yanlış olduğu için, $\forall x$ ile başlayan bu niceleyicili önerme yanlıştır.

  Doğruluk değeri: $0$.

Yukarıdaki incelemelere göre, doğruluk değeri $0$ olan niceleyicili önermeler B ve E seçenekleridir. Ancak soruda tek bir doğru cevap beklendiği ve belirtildiği üzere,

Cevap B seçeneğidir.