Merhaba sevgili öğrenciler!
Bu soruda, bir çemberde iki paralel kirişin uzunlukları ve aralarındaki uzaklık verilmiş. Bizden çemberin yarıçapını bulmamız isteniyor. Adım adım ilerleyerek bu problemi çözelim.
- 1. Adım: Problemi Anlayalım ve Görselleştirelim
- Bir çemberimiz var.
- İki paralel kirişimiz var. Kirişlerin uzunlukları $12$ cm ve $16$ cm.
- Bu kirişler arasındaki uzaklık $14$ cm.
- Kirişlerin uzunlukları farklı olduğu için, çemberin merkezine olan uzaklıkları da farklı olacaktır. Daha uzun olan kiriş merkeze daha yakındır. Bu durumda, bu iki kiriş çemberin merkezinin farklı taraflarında yer almalıdır. Eğer aynı tarafta olsalardı, aralarındaki uzaklık, merkeze olan uzaklıklarının farkı olurdu. Farklı taraflarda oldukları için, aralarındaki uzaklık, merkeze olan uzaklıklarının toplamıdır.
- Çemberin merkezini $O$ olarak adlandıralım.
- Yarıçapı $r$ ile gösterelim.
- 2. Adım: Dik Üçgenler Oluşturalım
- Çemberin merkezinden bir kirişe indirilen dikme, kirişi iki eşit parçaya böler. Bu, bize dik üçgenler oluşturma imkanı verir.
- Birinci kirişin uzunluğu $12$ cm ise, yarısı $6$ cm olur.
- İkinci kirişin uzunluğu $16$ cm ise, yarısı $8$ cm olur.
- Merkezden $12$ cm'lik kirişe olan uzaklığa $h_1$, $16$ cm'lik kirişe olan uzaklığa $h_2$ diyelim.
- Pisagor Teoremi'ni kullanarak yarıçap $r$ ile bu uzaklıklar ve kirişlerin yarıları arasında ilişki kurabiliriz:
- Birinci kiriş için: $r^2 = h_1^2 + 6^2 \Rightarrow r^2 = h_1^2 + 36$
- İkinci kiriş için: $r^2 = h_2^2 + 8^2 \Rightarrow r^2 = h_2^2 + 64$
- 3. Adım: Denklemleri Kuralım ve Çözelim
- Kirişler arasındaki uzaklık $14$ cm olduğu için ve kirişler merkezin farklı taraflarında bulunduğundan, merkeze olan uzaklıklarının toplamı $14$ cm'dir: $h_1 + h_2 = 14$.
- Şimdi elimizde bir denklem sistemi var:
- $r^2 = h_1^2 + 36$
- $r^2 = h_2^2 + 64$
- $h_1 + h_2 = 14$
- İlk iki denklemi eşitleyebiliriz, çünkü ikisi de $r^2$'ye eşittir:
- $h_1^2 + 36 = h_2^2 + 64$
- $h_1^2 - h_2^2 = 64 - 36$
- $h_1^2 - h_2^2 = 28$
- İki kare farkı özdeşliğini hatırlayalım: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Bu özdeşliği kullanarak:
- $(h_1 - h_2)(h_1 + h_2) = 28$
- Üçüncü denklemden $h_1 + h_2 = 14$ olduğunu biliyoruz. Bunu yerine yazalım:
- $(h_1 - h_2)(14) = 28$
- $h_1 - h_2 = \frac{28}{14}$
- $h_1 - h_2 = 2$
- Şimdi $h_1$ ve $h_2$ için iki basit denklemimiz var:
- $h_1 + h_2 = 14$
- $h_1 - h_2 = 2$
- Bu iki denklemi taraf tarafa toplayarak $h_2$'yi yok edelim:
- $(h_1 + h_2) + (h_1 - h_2) = 14 + 2$
- $2h_1 = 16$
- $h_1 = 8$ cm
- $h_1 = 8$ değerini $h_1 + h_2 = 14$ denkleminde yerine yazalım:
- $8 + h_2 = 14$
- $h_2 = 6$ cm
- 4. Adım: Yarıçapı Hesaplayalım
- $h_1$ ve $h_2$ değerlerini bulduğumuza göre, yarıçap $r$'yi bulmak için ilk iki denklemden herhangi birini kullanabiliriz. Birinci denklemi kullanalım:
- $r^2 = h_1^2 + 36$
- $r^2 = 8^2 + 36$
- $r^2 = 64 + 36$
- $r^2 = 100$
- $r = \sqrt{100}$
- $r = 10$ cm
- İkinci denklemi kullanarak da kontrol edebiliriz:
- $r^2 = h_2^2 + 64$
- $r^2 = 6^2 + 64$
- $r^2 = 36 + 64$
- $r^2 = 100$
- $r = 10$ cm
- Her iki durumda da yarıçap $10$ cm olarak bulunur.
Buna göre, çemberin yarıçapı $10$ cm'dir.
Cevap B seçeneğidir.
